Matrices y determinantes

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Capítulo 1

Matrices y Determinantes
El álgebra lineal es uno de los pilares básicos de la matemática aplicada. Las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales es el corazón del álgebra lineal, especialmente en dimensión finita. En este capítulo repasaremos nociones fundamentales (algunas definiciones, operaciones, propiedades, etc.) sobre matrices y determinantes, así como el algoritmobásico para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el algoritmo de Gauss. Incluiremos también nuevos conceptos como el de matrices equivalentes, factorización LU, núcleo e imagen de una matriz, etc., no tan conocidos y que serán esenciales para el desarrollo posterior de la asignatura. La ubicación de la teoría de sistemas lineales en cualquier texto de álgebra lineal representa uno de losquebraderos de cabeza del docente, debido al doble papel que desempeñan. Es el problema del huevo y la gallina ya que, por una parte, es una herramienta a la que se recurre continuamente para estudiar algunos conceptos de espacios vectoriales y aplicaciones lineales pero, por otra, su comprensión en profundidad se subordina a éstos. Ante este dilema, lo que se hará primero es presentar una primeraaproximación metódica de los sistemas de ecuaciones lineales, para más tarde ahondar en su estructura según dispongamos de las herramientas necesarias. Saber resolver sistemas de ecuaciones lineales es una tarea algorítmica relativamente sencilla para un alumno que ha cursado Bachillerato, y es lo que vamos a revisar en este primer capítulo, aunque omitiendo un análisis riguroso del conjunto de soluciones.Comprender en su totalidad la naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales requiere un poco más de esfuerzo, y es uno de los objetivos de este curso. Para ésto último se necesitan nociones tales como subespacio vectorial, dependencia lineal, base, dimensión, etc., que se presentan en el Capítulo ??, aunque el objetivo final se alcazará en el Capítulo ?? relativo a lasaplicaciones lineales.

1

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1o de Ingeniería Industrial. Ampliación de Matemáticas. Ángel Giménez

En primer lugar introducimos algunas definiciones básicas de la teoría de conjuntos con el fín de formalizar, en la medida de lo posible, la notación. A continuación definimos las matrices y los vectores. Mostraremos que con la matrices ganamos, para empezar, la economía en la notación en lossistemas de ecuaciones lineales. Veremos a lo largo de este curso que las matrices pueden ser consideradas desde otros muchos puntos de vista: en muchas situaciones son una forma ordenada de escribir la información disponible; pueden ser consideradas como un conjunto ordenado de m × n números; como un conjunto ordenado de n columnas; como un conjunto ordenado de m filas; también como un único objeto, quees además un elemento de una estructura algebraica. pueden ser vistas como la definición de una aplicación de Rn en Rm . etc.

1.1.

Nociones preliminares sobre conjuntos

En este capítulo introducimos algunas definiciones y notaciones necesarias para el desarrollo de la asignatura. No nos detendremos en un análisis profundo del significado de estos conceptos y de sus propiedades, sino quepartiremos de las definiciones básicas y estudiaremos sólo aquellos aspectos que sean de utilidad en el futuro. Partiremos definiendo la noción básica de conjunto como una “colección de objetos".

Definición 1.1 Se llama conjunto a una colección de objetos. Los objetos del conjunto se denominan elementos del conjunto. Si a es un elemento de un conjunto A, se escribe a ∈ A. Si B es un conjunto tal quetodo elemento de B está en un conjunto A, se dice que B es un subconjunto contenido en A, y se escribe B ⊆ A.

Matrices y Determinantes Para describir los elementos de un conjunto se suele utilizar las llaves {}. Ejemplos 1. Los números naturales: N = {0, 1, 2, 3, ....}. 2. Los números enteros: Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. 3. Los números racionales: Q =
m n

3

: m, n ∈ Z .

4....
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