Matrices y determinantes

Cap´ıtulo 6
MATRICES Y DETERMINANTES
6.1. Introducci´on
Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, as´ı como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX
por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.
Las matricesse encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´omicas y Biol´ogicas.
6.2. Matrices. Definici´on yp rimeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 . . . amn


 

Columnas de la matriz A
←
←
←
←


Filas de la matriz A
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ı el elemento a23 est´a en la fila 2 y columna 3. Las matrices siemprese representar´an con letras
may´usculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A =

2 1
3 4

B =
√
6 −4 0
1 2 1

C =


3 1 0
2 −4 0
−1 15
√
2
1 0 0


A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a21?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3.¿Qu´e elemento es b23?.
C tiene 4 filas y 3columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c42?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜no o dimensi´on es m
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
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CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83
6.3. Tipos de matrices
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Porejemplo,
A =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

es una matriz nula de tama˜no 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.
Por ejemplo, 
1 0 −4 9

es una matriz fila de tama˜no 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que s´olo consta de una columna, es decir su dimensi´on ser´a m x
1, como por ejemplo:
C =


1
0
−
√
8


es una matrizcolumna de tama˜no 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir su
dimensi´on es n x n. La matriz (2 1
3 4) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜no 2 x 2 o
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D =


1 2 3
6 5 4
−3 −4 0


de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principala la formada por los elementos
a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:
A =


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
... ...
. ..
...
an1 an2 an3 . . . ann


En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+
a22 + a33 + . . .+ ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.
En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulostodos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
E =


1 0 0 0
0 −4 0 0
3 4 5 0
1 3 16 −78


Triangular inferior
F =


1 4 1
3
0 9 −5
0 0 π


Triangular superior
CAP´ ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 84
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, s´olo tiene elementos en la diagonal principal.
Una matriz...