matrices y determinantes

MATRICES Y DETERMINANTES
Matrices y Vectores
Las matrices son ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería y fueron introducidos por los
matemáticos J.J Silvester, Arthur Cayley y William Hamilton.
De…nición
Una matriz A de m
elementos en K :

n sobre el campo K (R ó C) es un arreglo rectangular de m-…las y n-coumnas con
0

B
B
B
A= @
|

a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
..

..

.

a1n
a2n
.
.
.

am1

1

9
>
>
=

C
C
C
A

>
>
;

am2
amn
{z
}
Columnas de la matriz

…las de la matriz

Dicha matriz denotada como A = (aij ) ; se dice que es de orden m

n

Cuando el número de …las es igual al número de columnas diremos que la matriz es cuadrada.

Vector …la y vector columna
Un vector …la es una matriz donde el número de…las es igual a 1, esto es su orden es 1
ai1

ai2

n

ain

Un vector columna es una matriz donde el número de
0
a1j
B a2j
B
B .
@ .
.
amj

columnas es igual a 1, esto es su orden es m
1
C
C
C
A

1

Algunas veces es conveniente representar a una matriz como un vector …la, donde cada elemento viene a
ser una columna, esto es
An
A = A1 A2
c
c
c

donde

0

B
B
Aj =B
c
@

a1j
a2j
.
.
.
amj

1
C
C
C
A

Tambien podemos representar a la matriz A como un vector columna, esto es
0 1 1
Af
B A2 C
B f C
A=B . C
@ . A
.
Am
f

donde

Ai =
f

ai1

ai2
1

ain

Traza de una Matriz
Sea A una matriz de orden n; la traza de una matriz denotado por tr (A) viene dador por
tr (A) = a11 + a22 +

+ ann

Igualdad de Matrices
Dosmatrices A y B son iguales si y solo si:
Tienen el mismo orden y
aij = bij

Tipos de Matrices
Aqui veremos algunos tipos de matrices especiales, que son bastantes útiles.
Matriz Identidad
La matriz identidad de orden n n; In o simplemente I; es una matriz cuadrada tal que sus elementos
en la diagonal son unos y fuera de la diagonal son cero.
Ejemplo
La matriz identidad de orden 3 I3 es:0

1
I3 = @ 0
0

1
0
0 A
1

0
1
0

Matriz Nula
La matriz nula denotada simplemente como 0, es la matriz cuyos elementos son iguales a cero.
Ejemplo
0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

Matriz Triangular Superior
Una matriz triangular superior es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos debajo de la
diagonal son iguales a cero.
Ejemplo
1
0

2
2

0

1
@ 00

1
2
0

1
3
0 A
3

Matriz Triangular Inferior
Una matriz triangular inferior es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos arriba de la diagonal
son iguales a cero.
Ejemplo
1
4

0
2

0

1
@ 1
3

2

1
0 0
5 0 A
0 3

Matriz Diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior y a la vez triangular superior,
algunas veces ladenotaremos como diag (a1 ; a2 ;
; an ) ; esto es
0
1
a1 0
0
B 0 a2
0 C
B
C
diag (a1 ; a2 ;
; an ) = B
C
..
@
A
.
0

0

an

Ejemplo

1
0

0

1
@ 0
0

0
2

0
5
0

1
0
0 A
3

Matriz Transpuesta
Sea A una matriz de orden m
denotada como AT como:

n se de…ne la transpuesta de la matriz A a la matriz de orden n
AT = at = (aji )
ij

Ejemplo
Sea lamatriz A
A=

1
0

1
1

2
2

entonces la transpuesta de A viene dado por
0

1
AT = @ 1
2

1
0
1 A
2

Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si AT = A
Ejemplo
Sea A la matriz

como se ve

0

2
A=@ 1
0
0

2
AT = @ 1
0

1
2
2

1
0
2 A
1

1
0
2 A=A
1

1
2
2

Matriz Antisimétrica
Una matriz cuadrada A se dice que esantisimétrica si AT =
Ejemplo
Sea la matriz

como vemos

0

0
A=@ 1
0
0

0
AT = @ 1
0

1
0
2

3

1
0
2

A

1
0
2 A
0

1
0
2 A=
0

A

m

Matriz Conjugada
Sea A una matriz de orden m
denotada como A como:

n se de…ne la conjugada de la matriz A, a aquella matriz de orden m

n

A = (aij )
Ejemplo
Sea la matriz A
1+i i
1
0

A=

2
1 + 2i...