matrices y determinantes

Capítulo 1
MATRICES Y DETERMINANTES
Matrices y Vectores
Las matrices son ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería y fueron introducidos por los matemáticos
J.J Silvester, Arthur Cayley y William Hamilton.
De…nición 1 Una matriz A de mn sobre el campo K (R ó C) es un arreglo rectangular de m-…las y n-coumnas
con elementos en K :
A =
2
6664
a11 a12


a1n
a21 a22


a2n...
...
. . .
...
am1 am2


amn
3
7775
| {z }

9>>=
>>;
…las de la matriz
Columnas de la matriz
Dicha matriz denotada como A = (aij) ;
Ejemplo Una matriz A con 2 …las y 3 columnas con elementos reales
A =

4 􀀀1 􀀀4
􀀀1 􀀀1 􀀀4

Ejemplo Una matriz B con 3 …las y dos columnas con elementos en el campo de los complejos
B =
2
4 􀀀2 3 􀀀 i
4 + 2i 4
􀀀3 􀀀3 + 5i
3
5De…nición 4 El tamaño u orden de una matriz viene determinado por el número de …las y columnas de la matriz,
esto es, diremos que la matriz A tiene orden m  n
En los ejemplos anteriores se tiene que la matriz A es de orden 2  3 y la matriz B es de orden 3  2
Nota Cuando el número de …las es igual al número de columnas diremos que la matriz es cuadrada.
Vector …la y vector columna
Dos casosespeciales de matrices son las matrices llamadas vector columna y vector …la, las cuales suelen
generalmente denotarse con letras minusculas, como x; y
De…nición 6 Un vector …la es una matriz donde el número de …las es igual a 1, esto es su orden es 1  n
x =

x1 x2


xn

De…nición 7 Un vector columna es una matriz donde el número de columnas es igual a 1, esto es su orden es
n  1
y =2
6664
y1
y2
...
yn
3
7775
1
Matrices y Determinantes
Representación de una matriz como un vector …la
Algunas veces es conveniente representar a una matriz como un vector …la, donde cada elemento viene a ser un
vector columna, esto es
A =

Ac
1 Ac
2


Ac
n

donde
Acj
=
2
6664
a1j
a2j
...
amj
3
7775
; j = 1


n
Ejemplo Dada la matriz A de orden 4  5;de…nido por
A =
2
664
􀀀4 􀀀3 􀀀2 1 􀀀4
􀀀5 4 􀀀4 3 6
2 􀀀6 6 2 􀀀3
5 2 2 􀀀5 􀀀3
3
775
considerando cada columna de la matriz como un vector columna, tal como se indica a continuación
Ac
1 =
2
664
􀀀4
􀀀5
2
5
3
775
; Ac
2 =
2
664
􀀀3
4
􀀀6
2
3
775
; Ac
3 =
2
664
􀀀2
􀀀4
6
2
3
775
; Ac
4 =
2
664
1
3
2
􀀀5
3
775
; Ac
5 =
2
664
􀀀4
6
􀀀3
􀀀3
3
775
Ahora la matriz Apuede ser representada como una matriz …la donde cada elemento es un vector columna
A =

Ac
1 Ac
2 Ac
3 Ac
4 Ac
5

Representación de una matriz como un vector columna
Tambien podemos representar a la matriz A como un vector columna, donde cada elemento de la matriz es un
vector …la, esto es
A =
2
6664
Af
1
Af
2
...
Af
m
3
7775
donde
Af
i =

ai1 ai2


ain

;i = 1


m
Ejemplo Dada la matriz A de orden 5  4; de…nido por
A =
2
66664
􀀀4 􀀀5 2 5
􀀀3 4 􀀀6 2
􀀀2 􀀀4 6 2
1 3 2 􀀀5
􀀀4 6 􀀀3 􀀀3
3
77775
considerando cada …la de la matriz como un vector …la, tal como se indica a continuación
Af
1 =

􀀀4 􀀀5 2 5

; Af
2 =

􀀀3 4 􀀀6 2

; Af
3 =

􀀀2 􀀀4 6 2

;
Af
4 =

1 3 2 􀀀5

; Af
5 =

􀀀4 6 􀀀3 􀀀3

Ahora la matriz A puedeser representada como una matriz columna donde cada elemento es un vector …la
A =
2
666664
Af
1
Af
2
Af
3
Af
4
Af
5
3
777775
Msc. César Barraza 2
Matrices y Determinantes
Traza de una Matriz
De…nición 10 Dada una matriz A cuadrada de orden n; la traza de una matriz denotado por tr (A) viene dado
por la suma de los elementos de la diagonal de la matriz A:
tr (A) = a11 + a22 +


+ ann
Ejemplo Sea la matriz A de…nida por
A =
2
664
4 4 2 6
􀀀4 6 4 4
2 5 􀀀4 􀀀4
6 􀀀1 􀀀5 􀀀5
3
775
La traza de la matriz A viene dado por
tr (A) = a11 + a22 + a33 + a44
tr (A) = 4 + 6 􀀀 4 􀀀 5 = 1
Igualdad de Matrices
De…nición 12 Dos matrices A y B son iguales si y solo si:
Tienen el mismo orden y
Sus componentes correspondientes son iguales, esto es
aij = bij
Tipos de...