Matrices y sel

La Universidad del Zulia
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Mención Matemática y Física

Elaborado por:
Jhon Arias
C.I. 16.906.752

Maracaibo, octubre de 2005
Elaborado por: Jhon Arias
Octubre de 2005

INTRODUCCIÓN

A continuación, se te presenta una guía teórico-práctica donde se estudian las Matrices y los
Sistemas de Ecuaciones Lineales (S.E.L). LasMatrices y los S.E.L son una herramienta
importantísimas en cuanto a aplicaciones se refiere, por ejemplo en la física muchos fenómenos
vienen descritos por medio de una matriz, así como gran cantidad de problemas pueden ser
resueltos por medio de un Sistema de Ecuación Lineal. Esta guía te permitirá apreciar la gran
aplicabilidad que tiene el álgebra matricial y los S.E.L, no solo en el área de lafísica, sino también
en otras áreas del conocimiento e incluso en tu vida cotidiana.
La guía ha sido elaborada con el fin de facilitarte la comprensión de estos contenidos
algebraicos y de este modo poderlos aplicarlos a la realidad, para ello se irán construyendo las
definiciones por medio de algunos problemas aplicados a distintas áreas del conocimiento.
La guía está estructurada de lasiguiente manera: primero se te presentan algunas bases
teóricas, para luego resolver ciertos problemas y finalmente se proponen varios problemas prácticos
para que ejercites los conocimientos adquiridos.
Se te recomienda que analices cada problema hasta que logres comprenderlo completamente
y que no pases una hoja sin antes haberla entendido y asimilado. Trata de escudriñar cada problema
y tenconfianza en tus conocimientos.

Elaborado por: Jhon Arias
Octubre de 2005

MATRICES
Para comenzar a estudiar las matrices será necesario definir conjuntos indizados.
Conjunto indizado: decimos que un conjunto es indizado si se puede formar una función
biyectiva entre el conjunto y un subconjunto de los números naturales. Por ejemplo, la lista de los
nombres de los alumnos de un profesores un conjunto indizado porque podemos asignar a cada
nombre un número, y cada estudiante solo tendrá un único número. Nótese que un conjunto
indizado siempre es finito.
Problema: Juan, Pedro y Carlos son jugadores de Tenis. En el penúltimo torneo Juan obtuvo 2
victorias y 3 derrotas; Pedro obtuvo 3 victorias y 5 derrotas; y Carlos obtuvo 4 victorias y 1 derrota.
Encuentre una funciónasociada a esta situación.

Solución:
Sean los conjuntos,
A = {Juan (J), Pedro(P), Carlos(C)}
A = { Nombre de los Jugadores}

B = { Nº Victorias(V), Nº Derrotas(D}
B = {Resultado de los Juegos}

Entonces, AxB = {( J , V ), ( J , D ), ( P , V ), ( P , D ), (C , V ), (C , D )}, como
A y B son indizados ⇒A ≡ {1,2,3} ∧ B ≡ {1,2} luego
AxB = {(1,1), (1,2), ( 2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}.
Luegopodemos crear una función de tal manera que,
f : AxB →N
definida de la siguiente manera,
(J, V) →2 →
 f(1,1) = 2
(J, D) →3 →
 f(1,2) = 3
(P, V) →3 →
 f(2,1) = 3
(P, D) →5 →
 f(2,2) = 5
(C, V) →4 →
 f(3,1) = 4
(C, D) → → f(3,2) =1
1 

Estos resultados se pueden representar en una tabla de doble entrada como la siguiente:
J
P
C

V D
2 3
3 5
4 1

Del mismo modopodemos asociar a esta tabla un arreglo rectangular del siguiente modo;
2
3

4


3
5

1


En general se define una matriz como:
Elaborado por: Jhon Arias
Octubre de 2005

Definición:
Sean A, B dos conjuntos no vacíos y finitos. Por tanto A y B pueden “indizarse”.
Sea el card(A) = m

y

card(B)=n.

A  →I m = {1,2,3.....m}


Luego,

B  →J n = {1,2,3.....n}
Sea C otro conjunto no vacío, se define la función
M : AXB →C


La cual podemos definir, para simplificar la notación, como:
M : I m XJ n  C
→
(i, j )  →M (i, j ) = a ij ∈C


Esta función se conoce con el nombre de MATRIZ.
Cuando el conjunto C es un conjunto numérico se habla de una matriz numérica.
Podemos representar a M con el siguiente arreglo rectangular:
 a11

 a...