Matrices

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Instituto Tecnológico Superior – Matemática - E.M.T. – Tercer año Matrices y Sistemas lineales 1)

I)

II)

III)

La siguiente matriz muestra los vuelos directos de una compañía aérea entre cinco ciudades: A, B, C, D y E, en la cual un 1 en el lugar ij significa que la ciudad que corresponde a la columna j tiene vuelo directo hacia la ciudad de la fila i. i) Construye la matriz de vuelocorrespondiente a los vuelos directos de los itinerarios I, II y III. ii) Indica cuál de los itinerarios se corresponde con la matriz V. 2) Construye, en cada caso, una matriz A que cumpla: ii ) A ∈ M 3× 2 / a ij = i + j
V = A A 0  B 1 C 0  D 1 E 0  B 1 0 0 0 0 C 0 1 0 1 1 D 1 0 0 0 0 E 0  0 1  0  0

i ) A ∈ M 2×2 / a11 = 10, a12 = a22 = 15 y a21 = 7 i iii ) A ∈ M 3× 3 / a ij=  j si i ≤ j si i > j

 -1 2 3) En cada una de las siguientes matrices: A =  4 5

 1   C =  −1   −7    a) Identifica el número de filas, el número de columnas y el elemento a12 , b12 y c12 si existen. 0  1   -5 -1 2  B=  0 1 1 

b) Indica cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles falsas.
i ) a 21 = 5 ii ) c 21 = 1 iii ) b23 + a 21 = a 22 iv ) A∈ M 3× 2 v ) a 23 = c11

vi ) B es de dimensión 2 × 3

vii ) c 21 − 2.b13 = − a12

4) Dadas las siguientes matrices:
1 3 2 A=  3 1 4  2   1 F =   3   0  2 1 −1    B =  1 −1 1  2 1 3    G = ( 4 −1 0 2 )  1 0   C =  −1 1   2 1    1 5 D=   −1 1   1 0 4   E =  −1 2 1   0 2 3  

Profesor Gabriel Requena

Instituto Tecnológico Superior –Matemática - E.M.T. – Tercer año i) Reconoce la dimensión de cada una de ellas. ii) Plantea todas las multiplicaciones de dos factores que es posible realizar con las matrices dadas, indica la cantidad de filas y de columnas del producto y efectúa aquellos en los que no resulten matrices cuadradas. iii) Calcula: i ) B + E

ii ) A × B + C T

iii ) D 2 × ( A × E )

iv)2 × B − 5 × E

v) A × (B + E )

 3 −1  −1 0 2    iv) Halla los productos A × B y B × A, siendo A =   y B =  0 1  . ¿Qué opinas sobre que el orden  2 1 1  −2 6   
de los factores no altera el producto? 5) La matriz M muestra los consumos promedio anuales de gas (m3 ) , luz (kWh) y teléfono (pulsos) de dos familias tipo. La matriz N muestra los costos en sus unidades respectivas de esos impuestos enlos años
2000, 2001, 2002 y 2003. Efectúa M × N e interpreta los resultados obtenidos.
luz gas tel

2000 2001

2002 2003

1953 2084 3400  familia 1 M =  1800 1950 3200  familia 2 6) Calcula los determinantes de las siguientes matrices:  −2 −1  i)    0 −2   n +1 n  ii )   n − 1  n  1 -3 4    iii )  2 0 1     -3 1 -2 

 0,10 0,12 0,13 0,15  luz   N =  0,110,11 0,13 0,14  gas  0, 06 0, 08 0, 07 0, 07  tel   1  2 v)   −1  0
3   2 0 0  −1 4 1   5 −1 2  3 3

 x 1 2   iv)  1 x 1    1 1 x

7) Resuelve en ℝ : i) - x-1 2 =0 8 - x-1

2 1 1 9x ii) 1 = 1 x 0 2 − x −1

x 1 2 x

0 −1 iii) 0 1

x 1 −2 0

3 0 ( x − 5) 2 1 4 −1 −3

=0

iv)

x 3 -1 -x < 3 x x 2x + 3

a 1 2

8) Sabiendo que b 1 0 = −2 , halla losdeterminantes: i ) 1 c 0 1 c

a

1 b 0

0 0 0

3a ii ) 3b 3c

1 1 0

1 0
1 2

iii )

a c

2 1



b c

0 1

Gabriel Cramer (1704-1752): Matemático suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra desde 1724 hasta 1727. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en la citada universidad. En 1731 presentó en la Academia de las Ciencias de París,una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el “Comercium epistolarum” de Leibniz. Su obra fundamental es la “Introduction à l’analyse des courbes algébriques” (1750), en la que desarrolla la teoría de las curvas algebraicas.

Profesor Gabriel Requena

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