MATRICES

C ap. 1 Matrices y Determinantes

Moisé s Villena Muñoz

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

DEFINICIÓN
ORDEN O DIMENSIÓN
CLASES DE MATRICES
IGUALDAD DE MATRICES
OPERACIONES
DETERMINANTE
MATRIZ INVERSA

Los a rreglos ma triciales permi ten estruc turar muchos contenidos
ma temá ticos. De allí su importancia de estudio en este capí tulo.

OBJETIVOS:







Definir a rreglo matricial.
Definir y a plicar las definiciones para identificar matrices cuadradas,
matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices
diagonales, matrices simétricas.
Apli car operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación
por escalares, multiplicación entre matrices.
Hallar determinantes de ma trices.
Aplicar las propiedades de losdeterminantes para ejercicios
c onceptuales.
Justificar la existencia de la inversa de una matriz
Determinar, de existir, la inversa de una matri z.

1

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Moisé s Villena Muñoz

1.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un a rreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.
Columna
C1

C2

C3

Cn

a11
a21a31

a12
a22
a32

a13
a23
a33

a1n
a2 n
a3n

am1

am 2

am 3

amn






A





  R1
R
2

 R3


 Rm


Renglón

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número a ij se lo denomina e lemento de la matriz, donde " i " (el primer
número del subíndice)indica la fila e n donde se encuentra y " j " (el segundo
número del subíndice) la columna, es decir:

1.2 ORDEN O DIMENSIÓN
El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir Amn , se indica que A es una matriz
que tiene m filas y n columnas.

Ejemplos
2
A
1

1 3 
 A es de orden 2  3 porque tiene q ue tiene 2filas y 3 columnas.

0  2 23

  1 2  3


 B es de orden 3  3 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.
B   0 1  2
1 2 3 

 33

2

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Moisé s Villena Muñoz

Ejercicio Propuesto 1.1



A43  aij

1. Determine la matriz

para la cual aij  i  j  2 . [ SUGERENCIA: por ejemplo con

objeto de calc ular a2 1 , haga i  2 yj  1 en la fórmula a21  2  1  2  1 ].

  para la cual a

2. Determine la matriz A33  aij

ij

0 ; i  j

1 ; i  j

1.3 CLASES DE MATRICES
1.3.1 MATRIZ CUADRADA

Una matriz Amn es cuadrada si y sólo sí m  n .
Es decir una m atriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de columnas y
se la denota como Ann .
Caso contrario se la considera una mat riz rectangular.Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal
para los elementos a ij donde i  j , y D iagonal Secundaria para los elementos
de la otra diagonal.

Ann

 a11 a12

 a21 a22
  a31 a32



a
an 2
 n1

a13
a23
a33

a n3






D iagonal
Secundaria

a1n 

a2 n 
a3n 


ann 


D iagonal
Principal

La suma delos elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza de la
matriz y se la denota como Tr  A , es decir:

Tr  A  a11  a22  a33 

 ann

Dentro de las matrices cuadradas también aparecen las siguientes c lases de
matrices:
1.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUP ERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están
bajo la diagonal principal son todos cero s.Ann

 a11

0
 0


0


a12
a22
0

0

a13
a23
a33

0






a1n 

a2 n 
a3n 


ann 


3

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Moisé s Villena Muñoz

1.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos q ue están
sobre la diagonal principal son todos cero s.

Ann

0
 a11

a21...