Matrices

Matrices
Definición: Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos ordenados en filas y
columnas.
Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la
matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la
columna.
 a11 a12 . . a1n  Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, dedimensión m x n.
a
a22 . . a2 n  Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se
21


A .
. . . .  dice que la matriz es de orden n.


 .
am1



. . . 
. . amn 


.
am 2

IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la
misma posición en ambas son iguales.

3 5 
A  2 a 


b 6



3 5
B  2 7 


5 6 



Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir
que a = 7 y b = 5.

SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B es otra
matriz S = (sij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se
obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para que dos matrices A yB se puedan sumar tienen
que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma
posición.

 a11
a
 21
A B   .

 .
am1


a12
a22
.
.
am 2

. . a1n   b11 b12
. . a2 n   b21 b22
 
. . .  .
.
 
. . .   .
.
. . amn  bm1 bm 2
 

. . b1n   a11  b11
. . b2 n   a21  b21
 
. . . 
.
 
. . .  
.
.. bmn  am1  bm1
 

a12  b12
a 22  b22
.
am 2

.
 bm 2

. . a1n  b1n 
. . a2 n  b2 n 


. .
.

. .
.

. . amn  bmn 


PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1ª Conmutativa: A + B = B + A
2ª Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
3ª Elemento neutro: 0 ( matriz cero o matriz nula ).
0+A=A+0=0
4ª Elemento simétrico: - A ( matriz opuesta de A ).
A + ( -A) = ( -A ) + A = 0
La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A:
- (aij) = (-aij).

DIFERENCIA DE MATRICES
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que
sumarle a la primera la opuesta de la segunda: A - B = A + ( -B ).

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dado un número real k y unamatriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del
número real k por la matriz A, como otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de
modo que cada elemento pij de P se obtiene como: pij = kaij.

 a11
a
 21
k  A  k  .

 .
a m1


a12
a 22
.
.
am2

. . a1n   k  a11
. . a 2 n   k  a 21
 
. . .  .
 
. . .   .
. . a mn  k  a m1
 k  a12
k  a 22
.
.
k  am2

. . k  a1n 
. . k  a2n 

. .
. 

. .
. 
. . k  a mn 


PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Sean A y B matrices de la misma dimensión y k y h números reales. Se verifica:
1ª Distributiva respecto de la suma de matrices: k . ( A + B ) = k . A + k . B
2ª Distributiva respecto de la suma de números reales: ( k + h ). A = k . A + h . A
3ª Asociativa mixta (entre números y matrices): ( k . h ) . A = k . ( h . A )
4ª Elemento neutro: 1 ( número real 1 ) 1 . A = A
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan
multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número
de filas de la segunda matriz, esdecir, si la matriz A = ( aij ) tiene dimensión m x n y la
matriz B = ( bij ) tiene dimensión p x q, para que se pueda efectuar el producto A . B es
necesario que n = p. Por otra parte, la matriz producto P = ( pij ) tendrá por dimensión
m x q, es decir, el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B.
Cada elemento pij de la matriz P se obtiene multiplicando la fila...