Matrices

INGIENERÍA EN SISTEMA
TEORIA Y PRÁCTICA

TEMA:
MATRICES

Matriz:
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.


Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriztambién se puede representar de la forma siguiente:
A = (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Porejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Tipos de Matriz:

Fila: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n


Columna: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

Rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llamatraspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Se representa por At ó AT

OPUESTA: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n .

CUADRADA: Aquella matriz que tiene igualnúmero de filas que de columnas, m=n, diciéndose que la matriz es de orden n.

Diagonal Principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann

Diagonal Secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1


Nota:
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

:
SIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij =aji

ANTISIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A= -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0

DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal.

ESCALAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales.

IDENTIDAD: Esuna matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

Superior (■(2&-1&5@0&5&1@0&0&4))

Inferior (■(2&0&0@3&5&0@1&2&4))

SUMA DE MATRICES
Dadas dosmatrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A + B es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. Es decir, para que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición.



PROPIEDADES DE LASUMA DE MATRICES
1ª Conmutativa: A + B = B + A
2ª Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
3ª Elemento neutro: 0 ( matriz cero o matriz nula ).
0 + A = A + 0 = 0
4ª Elemento simétrico: - A ( matriz opuesta de A ).
A + ( -A ) = ( -A ) + A = 0
La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).
Ejemplo:PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del número real k por la matriz A, como otra matriz P = (pij) de la misma dimensión que A, de modo que cada elemento pij de P se obtiene como: pij = k.aij.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Sean A...