Matrices

MATRICES

Definición: Una matriz A de orden [pic] es un arreglo rectangular de números dispuestos en m filas y n columnas, encerrados entre paréntesis (ó corchetes):

[pic]

Observación:
(i) Las matrices por lo general se denotan con letras mayúsculas como A, B y C, etc, y los elementos o entradas por letras minúsculas a, b, c, etc.
(ii) El tamaño u orden es el número de filas y columnasque tiene la matriz.

Ejemplos:
[pic]; [pic]
Notación simplificada:
[pic]
Los subíndices i, j nos indicarán la posición relativa del escalar (número) dentro del arreglo rectangular.
Ejemplo:
[pic]
[pic] (fila 2, columna 2)
[pic] (fila 1, columna 3)

Observación: Los escalares [pic]se denominan términos o entradas (ó elementos) de la matriz.Ejemplo: ¿Cuál es el tamaño de la matriz [pic]? Dar los elementos [pic], [pic], [pic] y [pic] .

El tamaño u orden de la matriz es: 3 x 2; es decir es un arreglo rectangular de 3 filas y 2 columnas, y [pic], [pic], no existe el elemento [pic] y [pic].

Matrices cuadradas: Se denomina matriz cuadrada cuando el número de filas (m) es igual al número de columnas (n), es decir: [pic]. En unamatriz cuadrada, la diagonal principal es la línea formada por los elementos [pic]. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza de la misma.

Ejemplo:
[pic]

Número de filas: 2
Número de columnas: 2
Orden de la matriz: 2 x 2
Traza de la matriz: 1 + 3 = 4

Ejercicios:

1. Determinar el tamaño de cada matriz.(a) [pic]
(b) [pic]
(c) [pic]
(d) [pic]
(e) [pic]
(f) [pic]
(g) [pic]
(h) [pic]
2. En el ejercicio 1, si [pic], encontrar [pic], [pic], [pic], [pic] y [pic]
3. Determinar la matriz de 2x2, [pic] para la cual [pic]
4. Dar la matriz 3x2, [pic] para la cual [pic]
5. Determinar la matriz 3x4, [pic] para la cual [pic]
6. Escribir una matriz si es deorden:
a) 2x1, tal que su elemento [pic]
b) 3x1, tal que su elemento [pic]
c) 3x3, tal que [pic]
d) 4x3, tal que [pic]

Igualdad de matrices: La condición necesaria y suficiente para que dos matrices [pic] y [pic] sean iguales [pic] es que tengan el mismo orden y que cada uno de los elementos de una de ellas sea igual al correspondiente de la otra, es decir:

i) Ambas sean delmismo orden (m x n)
ii) Si [pic] y [pic] se cumple que [pic]; [pic]

Ejercicios:
1. Hallar el valor de x, y, u, v si las matrices [pic] y [pic] son iguales.
2. Determinar la matriz [pic] si se sabe que las matrices B y C son iguales donde: [pic] y [pic]
3. Dadas las matrices [pic] tal que [pic] y [pic]. Hallar los valores de x e y de modo que A=B.
4. Determinar los valoresde las variables para las cuales las ecuaciones matriciales siguientes son válidas.
[pic]
[pic]
[pic]

Matriz nula: Una matriz que tenga nulos todos sus elementos o entradas se llama matriz nula. En el caso de que una matriz A sea nula y no haya lugar a confusiones con respecto a su orden, escribiremos simplemente [pic], en lugar de la disposición m x n con sus elementos igualesa cero.

Operaciones con matrices:

(1) Suma de matrices: Sean [pic] y [pic], definimos [pic] donde [pic]; [pic].

Observación: Suma algebraica: [pic]

Ejemplo:

Si [pic] y [pic] , entonces se tiene:

[pic]

[pic]

Observación: La suma de matrices tiene las siguientes propiedades:
Sean A, B y C matrices del mismo orden, entonces:
(i) A+B=B+A (Propiedad conmutativa)
(ii)A+(B+C)=(A+B)+C (Propiedad asociativa)
(iii) [pic]existe una matriz [pic] tal que [pic]
(iv) [pic]existe una matriz (denotada por –A), tal que [pic]
(v) [pic]donde k es un escalar
(vi) Existe una matriz D tal que [pic]

Ejercicios:
Hallar las sumas algebraicas de las matrices:
[pic]
[pic]

(2) Multiplicación por un escalar:

Sea [pic] y [pic], definimos: [pic].

Ejemplo:

[pic]...