Matrices

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Matrices

Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con su transpuesta: . En una matriz simétrica cualquier par de elementos simétricos respecto a la diagonalprincipal son iguales.
Ejemplo



es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonalprincipal.
Ejemplo para n = 3:

A es también la matriz traspuesta de sí misma: At = A. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un casoparticular de las matrices hermíticas
matriz Hermitiana

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuestaconjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con latraspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,


Matriz nilpotente
Si es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero.
[editar] Demostración
Si A es una matriz nilpotente de orden k,
Por lotanto:
Luego: por lo que
La matriz

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con 0s a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Porejemplo, la matriz

es nilpotente, con

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matrices

ambaselevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.
matriz idempotente

Una matriz idempotente es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir:
A es idempotente siA x A = A.

Algunas formulas de matrices idempotentes:
Si a comprendida entre {0 y 1}




Por ejemplo, la siguiente matriz es idempotente:


Nota: No debe ser necesariamente...
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