matrices

Matrices
Definición:
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Se define como matriz fila a aquella matriz de orden 1 x n.
Se define como matriz columna o una matriz de orden m x 1
Tipo De Matrices:
La denominación de la matriz va a depender de la relación y valor entre m y n:
Si , hablamos de una matrizcuadrada de orden n.
Si , hablamos de que la matriz es un vector fila de n componentes.
Si , hablamos de una matriz que es un vector columna de m componentes.

Matriz Cuadrada:
Es aquella matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas. Es decir, una matriz A de orden n x m donde n = m se denomina matriz cuadrada de orden n.

Diagonal Principal:
En una matriz cuadrada A deorden n, la diagonal principal es el conjunto de elementos
a tal que i = j.

Matriz Diagonal:
Es una matriz cuadrada en la que los elementos a son nulos si i ≠ j.

Matriz Identidad O Unidad:

Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos iguales a cero (0). Se la simboliza con la letra
I  Si es importante hacerénfasis en el orden, se escribirá I para denotar la matriz identidad de orden n x n

Aritmética de matrices:

Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.



Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión,A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:
A + B = (aij + bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
1.  Interna La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
2.  Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C
3.  Elemento neutro A + 0 = A Donde O es la matriz nula de lamisma dimensión que la matriz A.
 4.  Elemento opuesto A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
5.  Conmutativa A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento estámultiplicado por k. k · A = (k · aij)

Propiedades
 1  a · (b · A) = (a · b) · A A  Mmxn , a, b 
 2  a · (A + B) = a · A + a · BA, B  Mmxn , a  
 3  (a + b) · A = a · A + b · A A  Mmxn , a, b  
 4 1 · A = A A  Mmxn
Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Am x n x Bn x p = Cm x p
Elelemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades del producto de matrices
 1  Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
 2  Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
 3  Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B +C) = A · B + A · C
 4  No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Ejemplo



Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M2x2 y B · A ∈ M3x3.

El método de las potencias es un método iterativo que calcula sucesivas aproximaciones a los autovectores y autovalores de una matriz.
Para aplicar el método de las potencias se supone que lamatriz A de n x n tiene n valores característicos  con un conjunto asociado de vectores característicos linealmente independientes .
Mama aquí va matriz transpuesta que esta en google
Determinantes
Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices:

Esta propiedad es más trascendente de lo que parece y es muy útil en el cálculo de...