Matrices

República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular Para La Educación.
U.E.N. “San Joaquín”.

Renato Vargas
C.I.: 23.490.317

San Joaquín, 12 de Noviembre de 2012.
1. Matrices.

Matrices es una rama de las matemáticas que se centra en el estudio de matrices. Inicialmente una rama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendo los temas relacionadoscon la teoría de grafos, el álgebra, la combinatoria, y la estadística también.

2. ¿Qué es una Matriz?

Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matricesse describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Otra definición, muy usada enla solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna.Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño  mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (aij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y elsegundo  j  la columna.
Esta es una matriz de  m  filas  y  n  columnas, es decir, de dimensión  m x n.  Esta  matriz también se puede representar de la forma siguiente:  A = (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas es igual  ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden  n.

3. Formas de Expresión Matrices.

* Forma Bi lineal: Una forma bilineal es una aplicación f:VxV→K quees lineal en las dos componentes.
En matemática, una forma bilineal definida B es una aplicación para la cual
B(v, v)
tiene un signo fijo (positivo o negativo) cuando el argumento v no es 0.
Para dar una definición formal, sea K uno de los cuerpos R (números reales) o C (los números complejos). Supóngase que V es un espacio vectorial sobre K, y
B: V × V → K
es una función bilineal que eshermitiana en el sentido que B(x, y) es siempre la conjugada compleja de B(y, x). Entonces B es definida positiva si
B(x, x) > 0

para cada x distinto de cero en V. Si es mayor o igual a cero, decimos que B es semidefinida positiva. Semejantemente para el definida negativa y semidefinida negativa. Si por el contrario es libre, decimos que B es indefinida.
Un operador lineal auto-adjunto Aen un espacio con producto interior es positivo-definido si
(x, Ax) > 0 para cada vector distinto de cero x.

* Forma Cuadrática: En matemáticas, una forma cuadrática se relaciona con un polinomio homogéneo de grado dos en un número de variables. Para introducir mejor el concepto de forma cuadrática comenzaremos viendo lo que son los polinomios cuadráticos. Diremos que un polinomio p enlas variables x1,x2,…,xn es cuadrático, si cada uno de sus términos posee grado dos
Una forma cuadrática es por tanto una aplicación que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.
Propiedades:

* Cuando K=R se dice que la forma cuadrática es real.
* Dos formas cuadráticas pueden ser:
* Linealmenteequivalentes en R si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
* Linealmente equivalentes en C si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
* Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
* Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio...