Matrices

Propiedades
Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria
Asociatividad

Demostración. Dada la definición de laoperación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
Conmutatividad

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debidoa que para todo .
Existencia del elemento neutro aditivo
Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en elcampo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.
Existencia del inverso aditivoExiste tal que

a esta matriz se le denota por .
Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en elcampo para cualquier .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los camposusados son (los números reales) y (los números complejos).
Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que secumple intrinsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.
En el caso en que el conjunto al que pertenecen lasentradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupoabeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .