Matrices

Definición matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de unamatriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,…
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales cuando tienen la mismadimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales
Suma o adición de matrices
La suma de matrices es la operación de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente,
La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismasdimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices
Propiedad interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Propiedad asociativa:(A + B) + C = A + (B + C)
Elemento neutro:
0 (matriz cero o matriz nula).
0 + A = A + 0 = 0
Elemento simétrico:
- A (matriz opuesta de A).
A + (-A) = (-A) + A = 0
La opuesta de la matriz A se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A: - (aij) = (-aij).
Multiplicación de un escalar x una matriz
Si multiplicamos una matriz por una escalar,multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.
Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.
Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define la multiplicación de un número real por una matriz ala matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k • A=(k aij)


Sustracción de matrices
La sustracción es posible siempre que las dos matrices posean las mismas dimensiones, siendo definido a nivel formal como:
A - B = C (cij = aij - bij)


Multiplicación de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide conel número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.


Operaciones elementales de filas y columnas de una matriz
Una operación elemental por filas o por columnas en una matriz, es alguna de las siguientes tres que se le apliquea los elementos de ciertas filas o columnas:
Intercambio de filas o columnas:
Consiste en intercambiar dos filas o dos columnas de la matriz .
Su notación matricial es:
o



se intercambiaron la fila con la fila de ; es decir, los elementos de la fila de cambian de posición a la fila y viceversa, pero conservan la posición de la columna, resultando una nueva matriz .Multiplicación de un escalar por una fila o columna
Consiste en multiplicar un escalar distinto de cero por una fila o por una columna de .
Su notación matricial es:
o



Observa que en ese caso se multiplicó el escalar por la fila de ; es decir, los elementos de la fila de cambian el valor numérico por veces su valor, resultando una nueva matriz .
Sustitución de una fila...