Matriz inversa

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“Inversa de una Matriz”
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible; si existe una matriz B con la propiedad de que
A x B = B x A = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos A-1.
Para que una matriz sea invertible es necesario que su determinante sea distinto de cero (|A| ≠ 0).

Ejemplo:Supongamos A= 2 5 y B = 3 -5 1 3 -1 2 Entonces:

AB = 2 5 3 -5 = 6 – 5 -10 + 10 = 1 0 = I
1 3 -1 23 – 3 -5 + 6 0 1

AB = 3 -5 2 5 = 6 – 5 -15 + 15 = 1 0 = I
-1 2 1 3 -2 + 2 -5 + 6 0 1

Puesto que AB = BA = I, A y Bson invertibles siendo cada una la inversa de otra

CALCULO DE UNA MATRIZ INVERZA

Para calcular la inversa de una matriz generalmente se utiliza dos métodos, el primero: utilizando la matriz adjunta y el determinante y el segundo: El método de Gauss-Jordán.
Primer Método: Se utiliza la siguiente formula
A-1=1|A|=(A*)t
A-1 = es la matriz inversa
|A| = es el determinante de laMatriz
A* = es la matriz adjunta
(A*)t = es la matriz Traspuesta de la adjunta

Ejemplo:
Dada la Matriz
Calcular la Matriz inversa:
1.- calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo (|A|= 0) la matriz no tendrá inversa
|A|= 2*0*1 + 1*3*1 + 0*5*0 – 1*0*5 – 2*1*0 – 0*3*1 =
0 + 3 + 0 - 0 - 0 - 0= 3
|A|=

2.- Hallamos la matriz adjunta de:

3.- Calculamos la Traspuesta de la Matriz Adjunta:


4.- Aplicamos la Formula
A-1=1|A|=(A*)t

0 13 0
A-1 = 1/3= -1 -1 1
1 -23 0

Para comprobar el resultado se debe multiplicar la matriz obtenida (Inversa) por la matriz inicial y el producto debe ser la Matriz Identidad

0 13 0 1 0 0
-1 -1 1= 0 1 0
1 -23 0 0 0 1

A.B = C11 = 0*2 + 13*3 + 0*5 = 0 + 1 + 0 = 1 A.B = C12 = 0*0 + 13*0 + 0*1 = 0 + 0 + 0 = 0A.B = C13 = 0*1 + 13*0 + 0*1 = 0 + 0 + 0 = 0
A.B = C21 = -1*2 + (-1)*3 + 1*5 = -2 -3 + 5 = 0 A.B = C22 = -1*0 + (-1)*0 + 1*1 = 0 - 0 + 1 = 1A.B = C23 = -1*1 + (-1)*0 + 1*1 = -1 + 0 + 1 = 0
A.B = C31 = 1*2 + ( -23)*3 + 0*5 = 2 - 2 + 0 = 0 A.B = C32 = 1*0 + ( -23)*0 + 0*1 = 0 + 0 + 0 = 0...
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