Matriz pseudoinversa

Matriz pseudoinversa
Definimos como pseudoinversa por la derecha de una Matriz A, que denotamos como A⁺, a una matriz que multiplicada por la derecha por A da la matriz diagonal con todos loselementos diagonales iguales a 1 –matriz I; es decir: I=A A⁺
Calculamos la pseudoinversa de A con la ecuación:
A⁺=Aᵀ [Aᵀ A ]¯
Como la matriz [Aᵀ A ] es cuadrada, suponiendo que sea una matriz regular, esuna matriz que puede ser invertida, y su inversa es única; por lo que el cálculo de esta expresión no debe tener ningún problema adicional.
a) Matriz pseudoinversa por la izquierda:(para matricesde mayor número de filas
que de columnas)
Recordamos: L(nxm).A(mxn)= I(nxn)
La matiz L(nxm) puede calcularse construyendo la matriz (nxn)
Aᵀ A=M
Si el determinante de M es diferente de0, existe M¯ y puede escribirse:
M¯ . Aᵀ.A = M¯ .M lo que es igual a M¯ . Aᵀ.A=I =L.A
De donde: L= M¯ . Aᵀ
b) Matriz pseudoinversa por la derecha:
recordando que A(mxn).R(nxm)=I(mxm), param<n , la matriz R(nxm) se calcula construyendo
A.Aᵀ=M; si determinante de M es diferente de 0 existe M¯ y puede escribirse:
A.Aᵀ.T¯ =I=A.R
De donde : A.Aᵀ. M¯ =I=A.R
R= Aᵀ. M¯
1 1
1-1
1 1
2 1
1 -1
1 1
Ejemplo 1: Calcular la matriz pseudoinversa de
A=

3 1
1 3
3 1
1 3
1 1
1 -1
1 1
2 1
1 -1
1 1
1 1 1
1-1 1
1 1 1
1 -1 1

M= =

3 -1
-1 3
3 -1
-1 3

Como det M =8 existe la matriz inversa de M¯ = ⅛
Yentonces:
2 4 2
2 -4 2
2 4 2
2 -4 2
1 1 1
1 -1 1
1 1 1
1 -1 1
3 -1
-1 3
3 -1
-1 3

L=M¯ .Aᵀ=⅛=⅛


1 0
0 1
1 0
0 1
8 0
0 8
8 0
0 8
2 4 2
2 -4...