Matriz semejante y diagonalizacion

Matriz semejante
En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz inversible P de n-por-n sobre K tal que: P −1AP = B.
Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.
En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Propiedades
Las matricessemejantes comparten varias propiedades:
poseen el mismo rango,
el mismo determinante,
la misma traza,
los mismos valores propios (aunque los vectores propios, en general, serán distintos),
el mismo polinomio característico, y
el mismo polinomio mínimo.

Hay dos razones para estas características:
1. dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de unamisma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
2. la transformación X  P−1XP es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.

Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A sellama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B,puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.
La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpoalgebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semajante a su traspuesta.
Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación,entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.

Matrices congruentes
Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.
Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matrizregular real P tal que: PTAP = B.

Aplicaciones
En bioinformática, las matrices de similaridad se usan para alineamiento de secuencias.



































Diagonalización
En álgebra lineal una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a unaforma diagonal. En este caso, la matriz podrádescomponerse de la forma  donde P es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A y D es una matriz diagonal formada por los valores propios de A.
Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendoescribirse como . El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de  son los vectores columnas de P.
Sea  una matriz cuadrada con...