matriz

Sistema de ecuaciones lineales

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primerasque nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouché-Frobenius, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método deGauss como otra alternativa de resolución.

Método de eliminación Gaussiana

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Rango de un sistema de ecuaciones lineales

Sabersi un sistema tiene o no solución (si es compatible), y cuantas soluciones tiene (si es determinado o indeterminado), se reduce para cualquier tipo de sistemas a estudiar rangos. El resultado fundamental es el:

TeoremadeRouche-Frobenius:

Un sistema cualquiera de matriz A y matriz ampliada (A|B) tiene solución (es compatible) si y solamente si Rg (A)=Rg(A|B). Por tanto si los dos rangos sondistintos el sistema no tiene solución (S.I.). Además, si dicho rango coincide con el número de incógnitas del sistema, la solución es única (S.C.D.), y si dicho rango es menor que el número de incógnitas, hay infinitas soluciones (S.C.I.). Es importante darse cuenta de que Rg(A)≤Rg(A|B), puesto que la matriz de coeficientes forma parte de la ampliada, es decir, la matriz A no puede tener rangomayor que la ampliada. A un siendo importante, el único problema que plantea este teorema es que NO ofrece ningún método para calcular la solución, solamente dice si hay solución o no.

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llamavectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, lasprimeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemasde Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.





Combinación lineal

Unvector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar

Generación de Espacio

Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinación lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es un conjunto generador de un espacio...