matriz

Matriz de una Transformaci´on Lineal
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
9 de febrero de 2011

´Indice
28.1. Matriz de una Transformaci´
on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2. Toda transformaci´
on Lineal es Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28.1.

1
4
5

Matriz de una Transformaci´
on Lineal

Sea T : V → W una transformaci´
on lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas.
Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y B = {v1 , . . . , vn } una base de W .
La matriz A m × n cuyas columnas son:
[T (v1 )]B , . . . , [T (vn )]B
es la u
´nica matriz quesatisface
[T (v)]B = A[v]B
para todo v ∈ V .
Definici´
on 28.1
La matriz A de la afirmaci´
on anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B .
Si V = W y B = B , A se llama matriz de T con respecto a B.
Ejemplo 28.1
Suponga que
T : R3 → R3
     
     
0
0 
0
0 
 1
 1
B =  0 ,  1 ,  0  , B =  0 ,  1 ,  0  ,




0
0
1
0
0
1
y que
[T ]B
B
Determine


−3 0 2
=  −3 3 3 
−1 3 2



3
T  −1 
−4

Soluci´
on
B
Tenemos que la matriz [T ]B
B cumple [T (v)]B = [T ]B [v]B . Si
hacemos:



1 0 0
3
[B|v] =  0 1 0 −1  → 
0 0 1 −4

v =< 3, −1, −4 >, entonces para obtener [v]B

3
1 0 0
0 1 0 −1 
0 0 1 −4

Por tanto, [v]B =< 3, −1, −4 > y de all´ı que

 
 

−3 0 2
3
−17[T (v)]B =  −3 3 3  ·  −1  =  −24 
−1 3 2
−4
−14
Por tanto,



 
  

1
0
0
−17
T (v) = −17 0  − 24 1  − 14 0  =  −24 
0
0
1
−14
Ejemplo 28.2
Suponga que


B= 


T : R3 → R3
    


0
3
2 
4
4 
 4
2  ,  −2  ,  0  , B =  2  ,  5  ,  0  ,



−5
0
−5
3
3
−2
 

 

y que


[T ]B
B
Si


−5−4
1
4 
=  1 −2
0 −4 −3



4
[x]B =  0 
−1

Determine [T (x)]B .
Soluci´
on
Directamente de la definici´
on de [T ]B
B :
[T (x)]B

= [T ]B
B [x]B

 

−5 −4
1
4
4 · 0 
=  1 −2
−1
 0 −4
 −3
−21
0 
= 
3

Ejemplo 28.3
Suponga que
T : R3 → R3


   

 
 

4
−4 
−5
2 
 −5
 −1
B =  4  ,  5  ,  −4  , B =  −5 ,  5  ,  −1  ,




3
3
−1
−2
2
3
2

y que


[T ]B
B
Si


5 −4 1
3 3 
= 3
3 −1 0



3
[x]B =  −3 
5

Determine T (x).
Soluci´
on
Directamente de la definici´
on de [T ]B
B :
[T (x)]B

= [T ]B
B [x]B

 

5 −4 1
3
3 3  ·  −3 
=  3
5
 3 −1
 0
32
=  15 
12

Por tanto,

 




−82
2
−5
−1
T (x) = 32−5  + 15 5  + 12 −1  =  −97 
2
3
2
−2


Ejemplo 28.4
Suponga que
T : R3 → R3
  

  
 
 

−1
0 
1
3
−4 
 1

B =  1  ,  −5  ,  0  , B =  −4  ,  −2  ,  1  ,




0
1
2
−2
−2
−2
y que


B
[T ]B

Si

Determine T (x).
Soluci´
on
Si x =< 4, −2, 0 >, entonces para obtener

1
[B|x] =  1
0


−1
0 0
=  4 −13 
0
0 5



4
x =  −2 
0

[x]B hacemos:



−1 0
4
1 0 0 11/2
−5 0 −2  →  0 1 0
3/2 
1 2
0
0 0 1 −3/4

3

Por tanto, [x]B =< 11/2, 3/2, −3/4 > y de all´ı que

 
 

−1
0 0
11/2
−11/2
 4 −1 3  ·  3/2  =  73/4 
[T (x)]B = [T ]B
B [x]B =
0
0 5
−3/4
−15/4
Por tanto,






 

1
3
−4
257/4
T (x) = −11/2 −4  + 73/4 −2 − 15/4 1  =  −73/4 
−2
−2
−2
−18
Notas
Observe que si [B] representa la matriz cuyas columnas son los vectores de B:
Para obtener [x]B dados B y x, se realiza el c´alculo [B]−1 x.
Para obtener y dados [y]B y B , se realiza [B ] · [y]B .
Ejemplo 28.5
Suponga que
T : R3 → R3
se define como


 
3x − 2z
x
T  y  =  x + y − z 
5x + 4z
z


y adem´as


B=...