Maximos Y Minimos De Una Funcion

Máximos y minimos de una funcion
ANTECEDENTES
Fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos.
En el más importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntosen los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible.
Por lo tanto, para hallar los puntos que correspondena valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0.
El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí sepuede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular:  
f´(c) e igualar este límite a cero.

DEFINICION

1. Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x=x0, si f(x0) ≥ f (x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que x0, permanezca a dicho intervalo.

2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo localm en x=x0, si f(x0) ≤ f(x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que x0 , permanezca a dicho intervalo.

Esto podría interpretarse como lo siguiente:
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcióncontinua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir enuna función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal.

PASOS A SEGUIR:
* Obtener la primera derivada.
* Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
* El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
* Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y sesustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
* Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretarlos resultados.
* Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza lasegunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser...