maximos y minimos derivada

CAPÍTULO

8
Aplicaciones de la derivada

1

8.2 Máximos y mínimos locales
Si f .x0 /
f .x/ para cada x cerca de x0 , es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 ,
diremos que falcanza un máximo local o un máximo relativo en x0 .
y

y
Máximo local
Máximo local

 

f .x0 /

¡

f .x0 /

y D f .x/

x0

y D f .x/

x

x0

x

Si f .x0 / Ä f .x/ para cada xcerca de x0 , es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0 ,
diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en x0 .
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

CálculoDiferencial e Integral I
y

y

y D f .x/
y D f .x/
¢

f .x0 /
£

f .x0 /

Mínimo local

Mínimo local
x

x0

x0

x

Si f .x0 / > f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el máximolocal es estricto.
Si f .x0 / < f .x/ para cada x cerca de x0 , entonces el mínimo local es estricto.
A un máximo y a un mínimo local se les llaman valores extremos.
y

Máximo local estricto

y Df .x/

x0
x1

x

Mínimo local estricto

Si f es continua en un intervalo que contiene a x0 y si f 0 cambia de signo en x0 , es decir, si en un
intervalo de la forma .x1 ; x0 / f 0 tiene unsigno y en .x0 ; x2 / el otro, entonces en x0 hay un valor
extremo, de hecho:
Si f 0 pasa de positiva a negativa, hay un máximo local estricto. Es claro pues la función pasa
de ser creciente a serdecreciente.
Si f 0 pasa de negativa a positiva, hay un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa
de ser decreciente a ser creciente.
Si no cambia de signo la derivada, entonces lafunción no tiene valor extremo.
Ejemplo 8.2.1 La función f .x/ D j x j es continua en R , pero no derivable en x D 0.
2

8.2 Máximos y mínimos locales
H También
f .x/ D j x j D

x

3

x

si x< 0
) f 0 .x/ D
si x 0

1

si x < 0
) 0 es un mínimo estricto.
si x > 0

1

f 0 .x/

f .x/

f .x/ decreciente

f 0 .x/ > 0

f .x/ creciente
§¨

1
x

x

¤

Mínimo local...