Maximos y minimos

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MÁXIMOS Y MINIMOS
Marco Antonio Cruz Chávez
UAEM Av. Universidad 1001 Col. Chamilpa C.P. 62210 Cuernavaca Morelos, México Agosto 18 del 2000 00334858@academ01.mor.itesm.mx

Abstract. En este trabajo se presentan algunos métodos de optimización clásica relacionados con los máximos y mínimos de funciones no lineales. También se muestra una explicación del método de optimización simplex parafunciones lineales por el cual se pueden obtener los máximos y mínimos de una función restringida.

1 INTRODUCCIÓN.
Desde la década de los 60 la programación lineal (PL) ha sido aplicada en diversas áreas de la vida como por ejemplo: sistemas militares, agrícolas, económicos, de transporte y de salud. La PL ofrece bases importantes en el desarrollo de métodos de solución de otras técnicas de laInvestigación de operaciones, como lo son la programación entera, la estocástica y la no lineal [Taha 1991]. La PL juega un papel muy importante en el estudio de los problemas continuos de optimización considerados como la frontera de los problemas de optimización combinatoria, ya que en los continuos se tienen las características necesarias para que sean considerados dentro del tipo combinatorio[Papadimitriou and Steiglitz, 1982]: Un problema de optimización combinatoria siempre se le involucra un conjunto de instancias, donde cada una de ellas cuenta con un conjunto finito de posibles soluciones (característica imprescindible de los problemas continuos). Por otra parte la teoría de optimización clásica se usa para la obtención de los máximos y mínimos de funciones no lineales restringidasy no restringidas, en los que se hace uso del calculo diferencial.

2 MAXIMOS Y MINIMOS
Mínimo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un mínimo de la función si f(X0+h) > f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña. Máximo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un máximo de la función si f(X0+h)
Una función puede contener varios máximos y mínimos, identificados por los puntos extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntos x1, x3 y x6 son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y f(x3), a este punto se le conoce como máximo global de la funcióny a los restantes como máximos locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los que también existe un mínimo global f(x2)y un mínimo local f(x4). Como es de lógico, solo puede existir un solo global y posiblemente varios locales.

Máximo fuerte Máximo débil Mínimo fuerte

Punto de Mínimo n débil

inflexió

Fig. 1. Representación de máximos y mínimos en una función con una solavariable [Taha 1991].

Una condición necesaria pero no suficiente para que X0 sea un punto extremo, es que para una función con mas de una variable, el gradiente ∇ f(X0) = 0. Si es cierto esto entonces X0 será conocido como punto estacionario. Una condición suficiente para que un punto estacionario sea extremo es que la matriz Hessiana H obtenida en X0 del sistema de ecuaciones sea positiva cuando X0es un punto extremo de mínimo. Y negativa cuando X0 es un punto extremo de máximo. Un máximo débil implica un numero finito de máximos alternativos (ver figura 1) y se define como X0 es un máximo débil, si f(X0 + h) 0 se tiene que y ∂ g(X) = ∇g(X)∆X

(5)

ya que g(X) = 0, entonces ∂ g(X) = 0, se deduce que,

∂ f(X) - ∇f(X) ∂ X = 0 ∇g(X) ∂ X = 0
con esto se tienen m ecuaciones con nincógnitas, cuando m < n tenemos, si definimos a X ahora como:

X = (Y, Z)

Donde Y = (y1,y2,…,ym) y Z = (z1,z2,…,zn-m) Indican a las variables dependientes e independientes, respectivamente y que corresponden al vector X. Volviendo a escribir los vectores gradiente de f y g en términos de Y y Z se encuentra que ∇f(Y,Z) = (∇yf, ∇zf) ∇g(Y,Z) = (∇yg, ∇zg) Donde

 ∇yg 1    J = ∇yg =  M  ...
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