Maximos Y Minimos

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
* Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño.* A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
* Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
* Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta unpunto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
* Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
* En los puntos críticos máximos, las funcionestienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
* En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
* En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.INTERPRETACION:
MAX: Es el punto en que la función toma su valor mayor, es el valor de Y máximo en la función.
Es necesario que la función sea creciente a decreciente, existe MAX
Puede haber uno o dos mas puntos que cumplen con la función
El mayor de todos los MAX es el MAX ABSOLUTO y los demás son máximos relativos.

MIN: Es todo lo contrario de máximo.
Es necesario que la funciónsea decreciente a creciente, existe min, también puede existir mínimo absoluto, y mínimos relativos.

Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
Sea f una función continua enun intervalo cerrado, que es derivable en todo punto del intervalo abierto.

Sea c en tal que o no existe.
a. Si es positiva para todo, y negativa para todo, entonces es un valor máximo relativo de.
b.
Si es negativa para toda, y positiva para toda, entonces es un mínimo relativo de.

C. Si es positiva para todo y también lo es para todo; o si es negativa para todo y a su vez para todo, entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .
 
Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:
|

Máximo relativo en
 
|

Mínimo relativo en
 
 
 
|
 

En no hay ni máximo ni mínimo relativo.
 
En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Paraello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el  teorema anterior.

Note que f está definida para

Como
Entonces
si y solo si, ó.

Los valores críticos son , y , x=-2.

Determinemos ahora cuándo y cuándo.

Como , se deben resolver las desigualdades: , . Nos ayudamos con la tabla siguiente:
|
 
Comopara y para entonces es un valor mínimo.

Como para y para entonces es un valor máximo.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

  |
Note que es un mínimo relativo y que es un máximo relativo, en el dominio de la función.

MAXIMIZAR INGRESOS Y MINIMIZAR COSTOS
* Podríamos maximizar una ganancia o minimizar un costo.
* Consiste en expresar la cantidad que...