Actividad 2. Aplicación de los axiomas de números reales

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales

1. Dado , donde y , demuestre que .
La idea es usar que implica que y el axioma 4° de orden “Si y entonces ”
Por hipótesis implica
Por teorema y que queda
……. (1)
Por hipótesis
Implica
Por…. (1) y el 4°axioma de orden “Si y entonces ” queda
Implica
Por teorema queda
Entonces
Por teorema queda finalmente

2. Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .
La expresión significa que
Prueba como
Según el axioma de orden
Consideramos dos casos
1°Caso
Implicaque según el axioma 4° de orden “Si entonces ”
Ahora usando el 2° axioma de orden y además la ley transitiva respecto a los axiomas de orden mencionados el 2° y 4° queda finalmente en conclusión que

2° Caso
Implica que por medio de un teorema
Luego concluimos que


3. Demuestre por inducción matemática que dados tales que demostrar que para cualesquiera .
La expresión significa que
Para

Por hipótesis se cumple para
Supongamos que la desigualdad cumple para
…(1)
Probemos que aquí la desigualdad se cumple para , es decir a lo que tenemos que llegar
…(2)
Entonces para poder llegar a la expresión…(2)
Primero considerando laexpresión …(1) ahí multiplicando esta expresión de desigualdad (1) por
Obtenemos ….(3)
Pero ahora que debido a considerar que queda
…(4)
Considerando (3) y (4) llegamos a lo pedido que es

Entonces se cumple para toda
4. Resolver la ecuación .
Igualando a cero la ecuación

Despejando y todos los demás elementos en el lado derecho es decir

Ahora tomando la expresión del lado izquierdo y definiéndola por medio del valor absoluto se crean dos casos
1° Caso
Igualando a cero esta ecuación queda

Pasando el 1 con signo contrario al lado derecho

Quitando el signo negativo a la ecuación

Ahora definiendo este valor absoluto y se dan [continua]

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