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Mecánica
Tema 4. Equilibrio tridimensional de cuerpos rígidos
4.1 Aspectos generales del tema de equilibrio tridimensional de cuerpos rígidos
Una partícula estará en equilibrio siempre que esté en reposo, si originalmente estaba en reposo, o siempre que tenga una velocidad constante, si originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, el término equilibrio estático se usa para describir unobjeto en reposo. Para mantener el equilibrio es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como:
 
Donde es el vector de la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Esta ecuación no sólo es una condición necesaria para elequilibrio, también es una condición suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley de movimiento de Newton, la cual puede describirse como: y por tanto la aceleración es cero. Entonces, la partícula se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo.
4.2 Análisis de cuerpos compuestos: bastidores y máquinas
Los bastidores y máquinas son dos tipos de estructuras que por lo regularestán compuestas por miembros multifuerza conectados mediante pasadores; es decir, miembros que están sometidos a más de dos fuerzas.
Los bastidores son generalmente estacionarios y se utilizan para soportar cargas, mientras que las máquinas contienen partes móviles y están diseñadas para transmitir y alterar el efecto de las fuerzas. Siempre que un bastidor o una máquina estén apropiadamenterestringidos y no contengan más soportes o miembros que los necesarios para prevenir el colapso; las fuerzas, que actúan en los nudos y soportes, pueden ser determinadas aplicando las ecuaciones de equilibrio a cada miembro. Una vez obtenidas las fuerzas en los nudos, es posible diseñar el tamaño de los miembros, conexiones y soportes; usando la teoría de la mecánica de materiales y un código deingeniería adecuado.
Para determinar las fuerzas que actúan en los nudos y soportes de un bastidor o máquina, la estructura debe ser desmembrada y trazarse los diagramas de cuerpo libre de sus partes. A continuación se mencionan los puntos que deben cumplirse:


Imagen obtenida de http://www.logismarket.es
Sólo para fines educativos.
4.3 Diagrama de cuerpo libre tridimensional
Las reacciones en unaestructura tridimensional abarcan desde una sola fuerza de dirección conocida, ejercida por una superficie sin fricción, hasta un sistema de fuerza-par ejercido por un apoyo fijo. Por lo tanto, en este tipo de problemas donde se analizan fuerzas en tercera dimensión, pueden existir entre una y seis incógnitas asociadas con la reacción correspondiente a cada apoyo o conexión.
En la siguiente figura semuestran las reacciones para cada uno de los apoyos o conexiones, además de las incógnitas involucradas en establecer cuáles de los seis movimientos fundamentales (traslación y rotación de los tres ejes) están permitidos y cuáles restringidos.

Reacciones en soportes y uniones.
Para fines educativos.
Beer (1997).
4.4 Ecuaciones de equilibrio tridimensional
En el caso general de tres dimensiones,se requieren de seis ecuaciones escalares para expresar las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:
 
Estas ecuaciones se pueden resolver para un máximo de seis incógnitas las cuales representarían reacciones en los apoyos o en las conexiones. Las ecuaciones escalares se obtendrán de una forma más conveniente si primero se expresan en forma vectorial las condiciones para el equilibrio delcuerpo rígido considerado. Para ello se escribe que:

Se expresan la fuerza y los vectores de posición r en términos de componentes escalares y vectores unitarios. Después, se calculan todos los productos vectoriales, por cálculo directo o por medio de determinantes. Igualando a cero los coeficientes de los vectores unitarios en cada una de las dos relaciones, se obtienen las ecuaciones...