mecanica cuantica

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA.
BAIN037 - Cálculo I paraIngeniería - Guía de Ejercicios 2.
1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
4e3x
a) y = xex−1 .
√
b) f (t) = ln(t 2 1 − t).
√
c) y = x sin(2x) +ln(3x).

2

d) y = ln(tan(e−3x )).
√
e) y = 1 + tan(1 + x).
f) g(τ) = arctan(ln2 (1 − 3τ)) + x2 τ.

2. Determinar:
a)
b)
c)

dy
dx
dy
dx
dydx

siendo ey ln x = 2 arcsin(xy) + ln( x ) + 1.
y

d)

d2y
dx2

e)

dy
dx

siendo

siendo (sin y)x = xsin(y) .
siendo xm yn = (x + y)m+n.

siendo

x = at,
y = a(1 + t 2 ).
x = 2 lnt,
y = tant + cott.

3. Suponga f derivable en el intervalo abierto I. Pruebe que si f es estrictamentecreciente en I entonces
f (x) > 0 en I.
4. Sean f : R → R , g : R → R dos funciones derivables y x0 un real arbitrario y fijo. Suponga que se
satisfacen lassiguientes relaciones:
f (x0 ) > g(x0 ),
f (x) > g (x), ∀ x ∈ R.
a) Muestre que bajo estas condiciones, f (x) ≥ g(x), ∀x ≥ x0 .
b) Utilizando lacontinuidad de las funciones f , g en x0 , muestre que se tiene un resultado más fuerte
que el anterior, a saber:
∃δ > 0 tal que f (x) ≥ g(x), ∀x ≥ x0 − δ .
5.Considere tres engranajes de radios r1 , r2 , r3 que giran colaborativamente (es decir, que ninguno "gira en
banda" respecto a los otros) con velocidadesangulares r, s y t respectivamente (ver figura).
Muestre que:
dr dr ds
=
.
dt
ds dt

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