Mecanica de fluidos - fundamentos

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II.- FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA

II.1.- TEOREMAS HIDROSTÁTICOS
Dentro de los líquidos en reposo, solamente es posible una forma de tensión, la de compresión, es
decir, la presión hidrostática, de la que se derivan las siguientes propiedades:
a) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es normal a la superficie sobre la cual se ejerce.
En efecto, si se supone que no esnormal, deberá tener una dirección cualquiera; si la fuerza no perpendicular a la superficie es F, se puede descomponer en dos, una paralela a la superficie, y otra normal. La
fuerza paralela hace que las capas de fluido deslicen unas sobre
otras, (fuerzas de viscosidad), en contra del principio de que en
Hidrostática la viscosidad es nula, Fig II.1.
Por lo tanto:
r
r
r
r
r
r
r
- F1 = 0,(Fuerza de viscosidad) ; F1 = 0 ; F = F1 + F2 ; F = F2
Fig II.1.- Presión en un fluido en reposo

luego tiene que ser perpendicular.
b) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es la misma

sobre todo elemento de superficie, cualquiera sea la dirección de aquella, es decir, la presión no depende del
ángulo de inclinación de la superficie sobre la que actúa.
Si por un puntoA del fluido se hacen pasar tres planos que formen un sistema ortogonal S1, S2 y S 3,
Fig II.2, y un cuarto plano infinitamente próximo al punto A, y perpendicular a la dirección de la presión
escogida en A, y se aplican las ecuaciones mecánicas de equilibrio, Σ F= 0, sobre los tres ejes elegidos, y
teniendo en cuenta las siguientes observaciones:
- La presión p forma ángulos

con los ejescartesianos elegidos.

- Sobre cada cara S1 , S2 y S3 se ejercen las presiones p1 , p2 , p3
- El peso de la masa líquida G contenida en el tetraedro formado por los cuatro planos, pasa por el c.d.g. del
tetraedro
II.-13

Fig II.2.- Presión en un punto

se obtienen los siguientes resultados:
 Proyección sobre Ax, p 1 S 1 + 0 + 0 - p S cos α - G cos α ' = 0

 Proyección sobre Ay, p 2S 2 + 0 + 0 - p S cos β - G cos β ' = 0
 Proyección sobre Az, p S + 0 + 0 - p S cos γ - G cos γ ' = 0

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y como el cuarto plano S está muy próximo al punto A, al tomar límites el valor de G tiende a cero, por lo
que se tiene:
 p 1 S1 = P S cos α


 p 2 S 2 = P S cos β ,

 p 3 S 3 = p S cos γ


 S1 = S cos α


y como:  S 2 = S cos β

 S3 = S cos γ




p1 =p 2 = p 3 = p

por lo que la presión no es una función vectorial, por cuanto es la misma para cualquier dirección, pero
diferente en cada punto. Por lo tanto:
p = f(x,y,z)

;

dp =

∂p
∂p
∂p
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

Esta propiedad de la presión hidrostática para líquidos en reposo, se cumple también para líquidos no
viscosos en movimiento. Sin embargo, para líquidos viscosos enmovimiento, surgen tensiones tangenciales, por lo que la presión hidromecánica, en rigor, no posee la propiedad indicada.
II.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO DE UNA MASA LIQUIDA
Vamos a obtener las ecuaciones diferenciales del equilibrio de un líquido en el caso más general,
cuando sobre el mismo actúe no solo la fuerza de gravedad, sino también otras fuerzas de masa.
Consideraremosen un líquido en reposo, un punto cualquiera M de coordenadas x, y, z, y presión p; en
el líquido de densidad ρ , tomamos un volumen elemental en forma de paralelepípedo con sus aristas
paralelas a los ejes de coordenadas, e iguales respectivamente a dx, dy y dz, en el que el punto M es uno
de sus vértices, Fig II.3.
II.-14

F ig II.3

Al examinar las condiciones de equilibrio del volumenelegido, representamos por F(X,Y,Z) a la
resultante de las fuerzas exteriores por unidad de masa, por lo que las fuerzas que actúan sobre el volumen escogido según las direcciones de los ejes de coordenadas serán iguales a estas componentes multiplicadas por la masa del volumen elegido.
La presión p es función de las coordenadas (x, y, z) del punto M; al pasar del punto M, por ejemplo, al...
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