Mecanica de fluidos
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V.1.- ECUACIONES DE EULER Vamos a considerar un fluido perfecto en movimiento, y un pequeño paralelepípedo de flujo, fijo, de lados infinitamente pequeños, y de volumen, dx dy dz. Como el fluido es perfecto, las presiones que se r ejercen sobre las caras de este paralelepípedo, son normales a las mismas; la resultante F de lasfuerr r r zas exteriores que actúan sobre este volumen tiene de componentes, X , Y , Z , por unidad de masa, por lo que las fuerzas que actúan sobre el volumen en la dirección de los ejes de coordenadas, serán iguales a estas componentes multiplicadas por la masa del paralelepípedo; así tendremos que:
∑ Fx = m jx = m du dt Fy = m j y = m dv ∑ dt dw ∑ Fz = m jz = m dt
son las fuerzas que hayque introducir en las ecuaciones del movimiento, según el principio de D' Alambert, y que son el producto de la masa del paralelepípedo por las aceleraciones según los ejes respectivos. Las ecuaciones del movimiento del volumen de fluido elegido, en las proyecciones sobre los ejes de coordenadas, son: ∂p dx ) dy dz + X ρ dx dy dz = ρ dx dy dz du ∂x dt ∂p dv p dx dz - ( p + dy ) dx dz + Y ρ dx dy dz= ρ dx dy dz ∂y dt ∂p p dx dy - ( p + dz ) dx dy + Z ρ dx dy dz = ρ dx dy dz dw ∂z dt p dy dz - ( p + Resolviendo la primera de estas tres ecuaciones se encuentra: ∂p + X ρ = du ∂x dt ⇒ 1 ∂p = X - du ρ ∂x dt
y haciendo lo propio con las otras dos, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones de Euler:
V.-73
1 ∂p = X - du ρ ∂x dt
;
1 ∂p = Y - dv ρ ∂y dt
;
1 ∂p = Z - dw ρ ∂z dtA su vez, como: u = f ( x, y, z, t ), y ser: x = x(t), y = y(t), z = z(t), su derivada respecto de t es: du = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz + ∂u = ∂u u + ∂u v + ∂u w + ∂u dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t 1 ρ que sustituida en las ecuaciones de Euler, proporciona: 1 ρ 1 ρ ∂p =X-( ∂x ∂p =Y-( ∂y ∂p =Z -( ∂z ∂u u + ∂u v + ∂u w + ∂u ) ∂x ∂y ∂z ∂t ∂v u + ∂v v + ∂v w + ∂v ) ∂x ∂y ∂z ∂t ∂w u + ∂wv + ∂w w + ∂w ) ∂x ∂y ∂z ∂t
que permiten completar el numero de ecuaciones necesario para la resolución del problema, a que hay que calcular para un tiempo t, cuales son las componentes de la nueva velocidad (u, v, w) dadas las componentes iniciales (u0, v0, w0), la presión p y la densidad ρ. a) Ecuación de continuidad Por lo tanto, las ecuaciones necesarias son: b) Ecuación decompresibilidad: f (p, v, T) = 0 c) Tres relaciones de Euler: ∑ m j V.2.- ECUACIÓN FUNDAMENTAL Partimos de las ecuaciones de Euler, a las que respectivamente, multiplicamos por dx, dy, dz, quedando en la forma: 1 ∂p dx = X dx - du dx = X dx - du u dt = X dx - u du ρ ∂x dt dt ∂p 1 dy = Y dy - dv dy = Y dy - dv v dt = Y dy - v dv ρ ∂y dt dt ∂p dw dz = Z dz - dw w dt = Z dz - w dz 1 dz = Z dz ρ ∂z dt dt
Sumándolas miembro a miembro, y teniendo en cuenta que: p = f (x, y, z, t), resulta: 1 ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = ρ ∂x ∂y ∂z dp = ∂p ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz + dt ∂p ∂x ∂y ∂z ∂t = 1 ( dp dt ) = ∂p ∂p ∂p ∂p ρ ∂t dx + dy + dz = dp dt ∂x ∂y ∂z ∂t = X dx + Y dy + Z dz - ( u du + v dv + w dw )
A su vez: V 2 = u2 + v 2 + w 2 ⇒
2 V dV = u du + v dv + w dw = d( V ) 2
Fig V.1
1 ( dp - ∂pdt ) = X dx + Y dy + Z dz - d( V 2 ) ρ ∂t 2
que es la Ecuación Fundamental de la Hidráulica, combinación lineal de las tres ecuaciones de Euler. Por lo tanto, en su integración se tendrá en cuenta el camino a seguir, es decir, la ecuación fundamental de la Hidráulica solamente se puede integrar a lo largo de una trayectoria, Fig V.1. Otra forma de obtener esta ecuación sería a partir de:
V.-741 ∂p = X - du ; X - 1 ∂p = du = u ∂u + v ∂u + w ∂u + ∂u ρ ∂x dt ρ ∂x dt ∂x ∂y ∂z ∂t Sumándola y restándola: v ∂v , w ∂w , se obtiene: ∂x ∂x ∂p X- 1 = u ∂u + v ∂u + w ∂u + ∂u + v ∂v + w ∂w - v ∂v - w ∂w = ρ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x r r ∂( V 2 ) = u ∂u + v ∂u + w ∂u + v ( ∂u - ∂v ) + w ( ∂u - ∂w ) + ∂u = 1 + ( rot V ∧V )x + ∂u ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂t 2 ∂x ∂t y haciendo lo propio para las...
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