Mecanica de fluuidos

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NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE ANALISIS MATEMATICO III

FUNCIONES EULERIANAS

Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2002 V 2.02

INDICE
1.- FUNCIÓN GAMMA: EULERIANA DE SEGUNDA ESPECIE 1.1.- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ 1.1.1.- DEFINICIÓN 1.1.2.- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II 1.1.3.- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: UNICIDADDE LA RELACIÓN Γ SOBRE R+ 1.1.4.- CONTINUIDAD DE Γ SOBRE R+ 1.2.- OTRA FORMA DE Γ 1.3.- PROPIEDADES DE Γ 1.3.1.- FÓRMULA DE RECURRENCIA 1.3.2.- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA 1.3.3.- VALORES NOTABLES Γ(1) = 1 1.3.4.- VALORES NOTABLES Γ(n+1) = n! 1 1.3.5.- VALORES NOTABLES Γ( ) = π 2 1 1.3.6.- VALORES NOTABLES Γ(n+ ) FÓRMULA DE DUPLICACIÓN PARA n∈ N 2 1.3.7.- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V(0+)1.3.8.- MÍNIMO DE Γ EN R+ 1.3.9.- RESUMEN DE PROPIEDADES

1.4.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES REALES POSITIVOS 1.5.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ (PRIMERA DEFINICIÓN) 1.6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN Γ 1.7. PROPIEDADES DE Γ ’ 1.7.1.- FÓRMULA DE RECURRENCIA Γ ’ 1.7.2.- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA Γ ’ 1.7.3.- VALORES NOTABLES Γ ’(1) 1.7.4.- VALORES NOTABLES Γ ’(n+1) 1.7.5.- RESUMEN DEPROPIEDADES DE Γ’ 1.8.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE Γ 1.8.1.- DEFINICIÓN 1.9.- PROPIEDADES DE Γ (SEGUNDA PARTE) 1.9.1.- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V(0 – ) 1.9.2.- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V( –k) 1.9.3.- LÍMITE DE Γ(p+1–ν)/ Γ(1–ν) 1.10.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE R – Z – – { 0 }

1.11.- DEFINICIÓN DE 1/Γ SEGUNDA DEFINICIÓN 1.12.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ Y DE 1/Γ (SEGUNDA DEFINICIÓN)1.13.- TERCERA DEFINICIÓN DE Γ 1.13.1.- DEFINICIÓN 1.13.2.- ANALISIS DEL DOMINIO DE LA TERCERA DEFINICIÓN DE Γ 1.14.- PROPIEDADES DE Γ (TERCERA DEFINICIÓN) 1.14.1.- HOLOMORFIA 1.15.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE 1.16.- DEFINICIÓN DE 1/Γ (TERCERA DEFINICIÓN) C – Z – – {0 }

2.- FUNCIÓN BETA: EULERIANA DE PRIMERA ESPECIE 2.1.- PRIMERA DEFINICIÓN DE B 2.1.1.- DEFINICIÓN 2.1.2.- JUSTIFICACIÓNDE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II 2.2.- OTRAS FORMAS DE B 2.2.1.- SEGUNDA FORMA DE B 2.2.2.- TERCERA FORMA DE B 2.2.3.- CUARTA FORMA DE B 2.3.- PROPIEDADES DE B 2.3.1.- REDUCCIÓN DE B A Γ 2.3.2.- SIMETRÍA DE B 2.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS 2.3.4.- EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS 2.3.5.- RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 2.3.6.- FÓRMULA DE DUPLICACIÓN PARA R+ 2.4.-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE B (PRIMERA DEFINICIÓN) 2.5.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE B 2.5.1.- DEFINICIÓN 2.6.- OTRAS PROPIEDADES DE B Y Γ 2.6.1.- OTRA FORMA DE Γ (TERCERA FORMA) 1 2.6.2.- VALORES NOTABLES Γ ’( ) 2 2.7.- TERCERA DEFINICIÓN DE B 2.7.1.- DEFINICIÓN 2.7.2.- ANALISIS DEL DOMINIO DE LA TERCERA DEFINICIÓN DE B *** (no hecho) 2.8.- FUNCIÓN DIGAMMA*** (no hecho ver Castagnetto)

3.- FUNCIÓNGAMMA INCOMPLETA 3.1.- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ INCOMPLETA 3.1.1.- DEFINICIÓN

APENDICE I 1.5.1.- TABLA DE LA FUNCIÓN GAMMA APENDICE II 1.7.3.1.- VALOR DE LA CONSTANTE DE EULER (CÁLCULO NUMÉRICO) APENDICE III 2.3.3.2.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: SEGUNDA DEMOSTRACIÓN 2.3.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: TERCERA DEMOSTRACIÓN 2.3.3.4.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: CUARTA DEMOSTRACIÓN

1.- FUNCIÓNGAMMA: FUNCIÓN EULERIANA DE SEGUNDA ESPECIE
Existen varias definiciones de la función Γ a partir de sucesivas extensiones del Dominio, a saber:

D = R+ D = R – Z – – {0} D = C – Z – – {0}
Que se desarrollarán a lo largo del texto.

1.1.- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ 1.1.1.- DEFINICIÓN
Se llama función Gamma Γ (en su primera definición sobre el dominio R+ ) o Función Euleriana de SegundaEspecie:

Definición de Γ (Primera):

Γ : R+ → R α → Γ(α) :=



+∞

e – x x α – 1 dx

0

Obs.: La justificación de que Γ es efectivamente una función y de que su dominio es R+ , se obtiene del análisis de convergencia y unicidad que siguen.

1.1.2.- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II
Se analiza la CV de la II anterior para justificar la definición. 1.- Existencia...
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