Mecanica de solidos

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Cap´ ıtulo 1 ´ Algebra tensorial
1.1. Tensores en Rn

No es dif´ tener prejuicios contra los tensores: al abrir cualquier libro con esa palaıcil bra en su t´ ıtulo nos saltan a la vista un mont´n de sub´ o ındices y super´ ındices adornados con comas, puntos y comas y otros s´ ımbolos cuando se pasa al c´lculo tensorial. Toa do ello da una sensaci´n misteriosa de taquigraf´ impenetrable. Paralos matem´ticos, o ıa a que muchas veces tienen otros prejucios contra la F´ ısica, los temores se agravan por la conocida aplicaci´n de los tensores en la teor´ de la relatividad o en una parte de la o ıa mec´nica. a El prop´sito de esta primera secci´n constituida por definiciones y ejemplos es perder o o ese miedo. El ´lgebra tensorial no es m´s que una extensi´n natural del ´lgebra lineal. a ao a El c´lculo tensorial, que se ver´ m´s adelante, sigue las mismas directrices que el c´lculo a a a a en subvariedades del segundo curso: todo es lineal en entornos peque˜ os. Como no hay n sistemas naturales de coordenadas las cosas se complican pero conceptualmente ni el ´lgebra ni el c´lculo tensorial son especialmente dif´ a a ıciles1 . En el curso de primero se estudi´ ´lgebra lineal de unavariable vectorial, pero nada oa impide considerar dos, tres o m´s variables; lo cual lleva directamente a la noci´n de a o tensor sobre un espacio vectorial. Antes de dar la definici´n precisa de tensor, veamos algunos ejemplos sencillos que o la motivan. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre R. Los libros dicen que cualquiera o m de estos espacios es isomorfo a alg´ n R , as´ quepara fijar ideas podemos suponer que u ı m de hecho V = R . Con una tipograf´ dif´ de mantener, todas las aplicaciones lineales ıa ıcil
Si se permite una comparaci´n extravagante, es como si alguien dijera que es muy complicado jugar o al mus. Evidentemente es muy dif´ aprender a jugar s´lo oyendo “s´ no, paso, ´rdago” pero las reglas ıcil o ı, o las podr´ aprender cualquier tonto (y encimaganarnos). Tampoco en Matem´ticas puede uno limitarse ıa a a mirar u o´ ır.
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´ CAP´ ITULO 1. ALGEBRA TENSORIAL

Es decir, cada una de ellas est´ determinada por una matriz de coeficientes 1 × m o a lo que es lo mismo un vector horizontal (a1 , a2 , . . . , am ). Recu´rdese que al conjunto e de estas aplicaciones lineales se le llama espacio dual y se denota con V ∗ . Como es s´lo unacuesti´n est´tica escribir vectores en vertical o en horizontal (de hecho por o o e razones tipogr´ficas pocas veces se escriben en vertical), V y V ∗ son lo mismo; o dicho a matem´ticamente, isomorfos. Recu´rdese que a una base de V , {e1 , . . . , em }, se le puede a e asignar una base de V ∗ , llamada la base dual , {ϕ1 , . . . , ϕm }, de manera que ϕi (ej ) = 0 si i = j y ϕi (ei ) = 1.Consideremos ahora una aplicaci´n bilineal, esto es, lineal en dos variables: o a1 ) f (λx, y) = λf (x, y) a2 ) f (x, λy) = λf (x, y) b1 ) f (x + x ′ , y) = f (x, y) + f (x ′ , y) b2 ) f (x, y + y ′ ) = f (x, y) + f (x, y ′ )

f : V −→ R se expresan en coordenadas (lo cual requiere fijar una base) como     x1 x1  x2   x2      f  .  = (a1 , a2 , . . . , am )  .  = a1 x1 + a2 x2 + · · · + amxm . .   .  .  . xm xm

No es dif´ comprobar que todas las funciones bilineales de V × V en R son de la ıcil forma        x1 y1 a11 . . . a1m y1  .   .   . . .  . . .. .  .  f  .  ,  .  = (x1 , . . . , xm )  . . . . . . xm ym am1 . . . amm ym
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Si ahora consider´semos una aplicaci´n a o trilineal necesitar´ ıamos una matriz tridimensional paracolocar los vectores lo cual no es muy operativo, por ejemplo, para m = 3 tendr´ ıamos que desguazar un cubo de Rubik y poner un n´ mero en cada trozo; y en el cau 3 3 so R × R × R3 × R3 −→ R utilizar un cubo de Rubik cuatridimensional (parece que los hay virtuales en la red). Lo bueno de la abstracci´n matem´tica es que uno puede defio a nir objetos sin necesidad de dibujarlos ni de que existan, y...
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