mecanica del medio continuo


Índice




1 ELEMENTOS DE CÁLCULO TENSORIAL

1.1 OPERACIONES CON VECTORES Y ESCALARES

Dados los siguientes vectores, realiza lo que se te indica





I. =


II. =


III. =





IV. Determinar el área del paralelogramo que determinan los vectores:
u = (–4,0,5)
v = (–4,3,0)

Solución:
El área del paralelogramo es el valor de la norma del producto cruzentre los vectores, es decir, .

Primero calculamos el producto vectorial:

w =

Área Paralelogramo = =

⟹ Área del Paralelogramo=

V. Sean u = 4i+j+k, v = 2i+3j y w = 5i+2k vectores. Obtener: u • (v×w)

Solución
Primer hacemos el producto cruz de v y w.

(v×w) =

Hacemos el producto punto del vector resultante con el vector u.

u • (v×w) =

Entonces u • (v×w) =51.2 TRANSFORMACIÒN DE COORDENADAS

Las siguientes tablas representa los cosenos directores entre la base original X y la nueva base X´ determiné los cosenos de la tercera línea.

I.

X1
X 2
X 3
X´1

3/5

4/5

0
X´2

0

0

1
X´3

?

?

?

Solución
La fórmula que se utiliza es X´3= X´1 (X) X´2, sustituyendo enlaformula temenos:

X´3=

Entonces X’3= 4/5 I – 3/5 J + 0 K

II.

X1
X 2
X 3
X´1

5

½

3
X´2

0

4

2

X´3

?

?

?

Solución
La fórmula que se utiliza es X´3= X´1 (X) X´2, sustituyendo enla formula temenos:

X´3=

Entonces X’3= = -11 I -10 J + 20 K

III.

X1
X 2
X 3X´1

1

2

3
X´2

2/3

5/2

4/5
X´3

?

?

?

Solución
La fórmula que se utiliza es X´3= X´1 (X) X´2, sustituyendo enla formula temenos:







1.3 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON TENSORES

I. Seanvectores, calcular el producto diada y con ello determinar la diada simétrica y la diada anti simétrica.

Primero se calcula elproducto diada “D” y la diada conjugada “Dc”.







Diada simétrica

Para calcular la diada simétrica utilizamos la fórmulaG=D+Dc/2





Diada anti simétrica

Para calcular la diada anti simétrica utilizamos la fórmulaH=D-Dc/2





II. Dados los vectores ; .Hallarla diada, la diada conjugada, la diada simétrica y la diada anti simétrica.

Primero se calcula el producto diada“D” y la diada conjugada “Dc”.

Diada



Diada conjugada



Diada simétrica

Para calcular la diada simétrica utilizamos la fórmulaG=D+Dc/2






Diada anti simétrica

Para calcular la diada anti simétrica utilizamos la fórmulaH=D-Dc/2








III. Dados los vectores ; .Hallarla diada, la diada conjugada, la diada simétrica y la diada anti simétrica.

Primerose calcula el producto diada “D” y la diada conjugada “Dc”.

Diada



Diada conjugada



Diada simétrica

Para calcular la diada simétrica utilizamos la fórmulaG=D+Dc/2






Diada anti simétrica

Para calcular la diada anti simétrica utilizamos la fórmulaH=D-Dc/2





2 ANÁLISIS DE ESFUERZOS
2.1 TENSORES DE ESFUERZOS DE CAUCHY

I. En un medio continuo se conoce eltensor de tensiones en un punto, cuyas componentes cartesianas son:

Obtener las tensiones principales (, con {n1} = (1/2, , 3/4)t, {n2} = (−√3/2, 1/4, √3/4)T, {n3} = (0, −√3/2, 1/2)T.
Solución
Conocidas las direcciones principales {ni}, basta tener en cuenta que para cada una de ellas:
[σ]{ni} = λi{ni} (i no sumado)
Así, evaluando el lado izquierdo de la ecuación anterior se obtienetrivialmente el factor de proporcionalidad (autovalor) λi = σi.
El resultado es σ1=3, σ2=1, σ3=−2.
II. Dado el tensor de tensiones: a) Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x + y + z = 0 que pasa por las proximidades del punto considerado.
=Mpa·
Vector normal al plano:
= ( + + )
= =
Tensión normal:
= · = = = 9.34Mpa
Tensión...