Mecanica estatica

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños.

Fig. 5.1 centro de gravedad de una placa
Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2, y, y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de laplaca serán representadas, respectivamente, con W1, W2, . . . ,Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos delos elementos.

Fz: W W1W2….Wn

Para obtener las coordenadas del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es:

(5.1)
Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye eltamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

W dW, xW x dW, yW y dW (5.2)
Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano x y (figura 5.2).Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobreeste último.

Fig. 5.2 centro de gravedad de un alambre

CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud
W del proceso de un elemento de la placa puede expresarse como
W yt A
Donde y peso específico (peso por unidad de volumen) del material tespesor de la placa A área del elemento En forma similar, se puede expresar la magnitud W delpeso de toda la placa como
W ytA
Donde A es el área total de la placa. Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específico y en lb/ft3, el espesor t en pies y las áreas A y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que W y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a y en N/m3, a t en metros y a las áreas A y A enmetros cuadrados; entonces, los pesos W y W estarán expresados en newton.
Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y se divide a todos los términos entre yt, se obtiene

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite
A X d A A y d A (5.3)
Estas ecuacionesdefinen las coordenadas del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son también se conoce como el centroide C del área A de la placa (figura 5.3). Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de seccióntransversal uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:
W ya L
Donde y= peso específico del material, a= área de la sección transversal del alambre, L= longitud del elemento. Se debe señalar que en el Sistema Internacional de unidades generalmente se caracteriza a un material dado por su densidad P (masa por unidad de volumen) en lugar de caracterizarlo por supeso específico y. Entonces, el proceso específico del material se puede obtener a partir de la relación:
y= pg
Donde g= 9.81 m/s2. Como P se expresa en kg/m3, se observa que y estará expresado en
(Kg/m3)(m/s2), esto es, en N/m3.

Fig.5.3 centroide de un area

Fig.5.4 centroide de una línea
El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma...