Mecanica

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Cap¶ ³tulo 3 Aplicaciones de las integrales m¶ltiples a la Mec¶nica. u a

Introducci¶n. o Los conceptos de integral doble y triple se aplican al estudio de propiedades f¶sicas ³ de fuerzas distribuidas sobre super¯cies planas y sobre vol¶menes, llamadas fuerzas u m¶sicas, cuyo valor viene dado en cada punto por su intensidad (que se mide en a unidades de fuerza por unidad de super¯cie o fuerzapor unidad de volumen). Cuando la fuerza m¶sica se debe a la atracci¶n de la gravedad, la intensidad se a o escribe como ½g, donde ½ representa el peso espec¶ ³¯co del cuerpo y g la aceleraci¶n o de la gravedad. En los problemas a que nos referimos, la intensidad de la fuerza var¶ siempre de forma continua en la regi¶n que se considera y por tanto, es posible ³a o aplicar, para su resoluci¶n, losconceptos estudiados en los dos temas anteriores. o En particular, vamos a proporcionar f¶rmulas para el c¶lculo de masas, centros o a de masa y momentos de inercia de l¶minas y s¶lidos, que se deducen de las corresa o pondientes a sistemas de part¶ ³culas, cuando se considera el cuerpo subdividido en elementos in¯nitesimales en los que la intensidad puede ser aproximada por una constante. Losconceptos f¶ ³sicos que aparecen en este tema se suponen conocidos por el alumno y pueden encontrarse en cualquier libro elemental de mec¶nica est¶tica. a a Desde un punto de vista matem¶tico, una referencia v¶lida es el libro de Taylora a Wade, C¶lculo diferencial e integral, Ed. Limusa. a

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3.1

Masa y centro de masa de un cuerpo.

Masa de un cuerpo ² Sea V un cuerpo tridimensionalacotado ( es decir, un cuerpo continuo) de volumen ¯nito. Sea ½(x; y; z) la densidad en cada punto de V. La masa total del s¶lido viene dada por: o M=
ZZZ

½(x; y; z)dxdydz

V

² Si V es un s¶lido cuyas secciones por planos paralelos a uno dado son id¶nticas o e ( en cuyo caso se denomina l¶mina) y la densidad es constante a lo largo de a cualquier l¶ ³nea perpendicular a las caras planas de lal¶mina, en ese caso se a puede representar la densidad en cada punto como una funci¶n de dos variables y o el c¶lculo de la masa total ser¶ el espesor de la l¶mina multiplicado por la \masa a a a super¯cial" de la misma: Si una de las caras planas de la l¶mina es una regi¶n D en el plano XY, h es el a o espesor de la l¶mina y ½(x; y) es la densidad en cada punto de esta regi¶n, a o M =h
ZZ½(x; y)dx dy
D

Las dos f¶rmulas anteriores se obtienen considerando V inclu¶ en un paralelep¶ o ³do ³pedo I y subdividiendo ¶ste por medio de una partici¶n P de I, de forma que cada sube o paralelep¶ ³pedo de la partici¶n se puede considerar un elemento de masa, cuya masa o viene dada por la densidad en un punto del subparalelep¶ ³pedo Iijk , multiplicada por el volumen de dicho paralelep¶ ³pedo:½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk ). Los puntos (xi ; yj ; zk ) constituyen una elecci¶n en I respecto de P, y o
X
ijk

½(xi ; yj ; zk )¹(Iijk )

es una aproximaci¶n a la masa del s¶lido, por una parte, y por otra, es una suma o o de Riemann para la funci¶n ½. Cuando el tama~o de la partici¶n tienda a cero, la o n o proposici¶n del tema 2 a¯rma que las sumas tienden a la integral triple y, por otra oparte, estas sumas tienden a la masa de V. Centro de masa. Siguiendo con la notaci¶n del apartado anterior, las coordenadas (xG ; yG ; zG ) del o centro de masa de un s¶lido V vienen dadas por las ecuaciones: o ² xG =
RRR
V

x½(x;y;z)dx dy dz M

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yG = zG =

RRR

RRR

V

y½(x;y;z)dx dy dz M z½(x;y;z)dx dy dz M

V

² Si V es una l¶mina: a

RR 8 > x = RR x½(x;y)dx dy D > G >½(x;y)dx dy > < D RR > > > y½(x;y)dx dy > D : yG = RR
D

½(x;y)dx dy

Centro geom¶trico de la ¯gura. e Las coordenadas (¹; y ; z ) del centro geom¶trico de un s¶lido V se obtienen a partir x ¹ ¹ e o del centro de masas, al considerar que la densidad es constante en cada punto. En ese caso, la masa es la densidad multiplicada por el volumen del cuerpo y simpli¯cando se obtiene: ² x= ¹
RRR...
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