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Séries de Fourier
Notas de aulas compiladas no dia 6 de Maio de 2003

Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil

Prof. Ulysses Sodré

ii

email: email: Material compilado no dia 6 de Maio de 2003.

Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas não pode ser vendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.Para conhecer centenas de aplicações da Matemática, visite a Home Page:

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E apliquei o meu coração a esquadrinhar, e a informar-me com sabedoria de tudo quanto sucede debaixo do céu; esta enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens, para nela os exercitar. Atentei para todas as obras que se fazem debaixo do sol, e eis que tudo era vaidade eaflição de espírito. Aquilo que é torto não se pode endireitar; aquilo que falta não se pode calcular. Falei eu com o meu coração, dizendo: Eis que eu me engrandeci, e sobrepujei em sabedoria a todos os que houve antes de mim em Jerusalém; e o meu coração contemplou abundantemente a sabedoria e o conhecimento. E apliquei o meu coração a conhecer a sabedoria e a conhecer os desvarios e as loucuras, evim a saber que também isto era aflição de espírito. Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta em conhecimento, aumenta em dor. (ECLESIASTES 1:13-18, Bíblia Sagrada.)

CONTEÚDO

iii

Conteúdo
1 A importância das séries de Fourier 1.1 1.2 1.3 1.4 Problema de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Problema da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jean B. Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 2 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 12 13 14 15 15

2 Funções Periódicas 2.1 2.2 2.3 2.4 Conceitos gerais sobre funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . Núcleo de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . Polinômio trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Série trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fórmulas e integrais trigonométricas 3.1 3.2 Algumas fórmulas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Funções absolutamenteintegráveis 4.1 4.2 4.3 4.4 5 Função integrável sobre um intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função integrável sobre a reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função absolutamente integrável sobre um intervalo . . . . . . . . . Função absolutamente integrável sobre a reta real . . . . . . . . . . .

Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier 5.1 Aplicação de série de Fourierà soma de uma série numérica . . . . .

6 Tipos importantes de simetrias 6.1 Propriedades de funções com simetrias par e ímpar . . . . . . . . . .

7 Integrais de funções com simetrias 7.1 Propriedades das integrais com simetrias . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTEÚDO

iv

7.2

Propriedades das simetrias para os coeficientes de Fourier . . . . . .

16 17 17 17 17 18 19 19 20 2021 21 23 24 24 26 28 29 29 29 31 33 33 33

8 Descontinuidade de funções reais 8.1 8.2 8.3 8.4 Salto de função descontínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor médio de uma função em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . Descontinuidade de primeira espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descontinuidade de segunda espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 FunçõesSeccionalmente diferenciáveis 9.1 9.2 9.3 Função seccionalmente contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função seccionalmente diferenciável . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Teorema de Fourier 11 Aproximação de função pela série de Fourier 12 O fenômeno de Gibbs e a série de Fourier 13 Séries de...
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