Mediana

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Cálculo

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:
Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas.
[editar]Datos sin agrupar
Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana esel valor que ocupa la posición (n + 1) / 2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9 => El valor central es el tercero: x(5 + 1) / 2 = x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dosdatos por debajo (x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n / 2 y n / 2 + 1. Es decir: Me = (xn / 2 + (xn / 2 + 1)) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9,x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: .
[editar]Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide conel valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalenciaa:

Dónde Ni y Ni − 1 son las frecuencias absolutas acumuladas tales que , ai − 1 y ai son los extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me = ai − 1 es la abscisa a calcular, la moda. Se observa queai − ai − 1 es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
[editar]Ejemplos para datos sin agrupar

[editar]Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos
xi fi Ni
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 8 21 > 19.5
6 9 30
7 3 33
8 4 37
9 2 39
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 78 9
Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas Ni. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene X(39 + 1) / 2 = X20.
Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 conlo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
[editar]Ejemplo 2 : Cantidad (N) par de datos
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2
xi fi Ni+w
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 6 19 = 19
6 9 287 4 32
8 4 36
9 2 38
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas Ni. Ni. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene Formula: X = n / 2 = = > X = (38 / 2) = > X = 19 (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).
Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen eldecimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.
[editar]Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.

[editar]Método de cálculo...
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