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UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´ FACULTAD DE INGENIER´ / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA IA

ALGEBRA II Gu´ de Matrices y Determinantes ıa
Primer a˜ o Plan Com´ n de Ingenier´ n u ıa Segundo Semestre 2009

1. Hallar una matriz B que cumpla con 2B T − 3AT = DC donde: 2 −1 1 3 0 2  3 D= 4  −1 

A= 2. Sean

C=

2 −1

 2  j si i < j 0 si i = j aij =  2 i si i > j

y

bij = 3i2 − 2j

a)Determine la matriz A = (aij )3x3 b) Determine la matriz B = (bij )2x3 c) Si D = (aij )4x4 y E = (bij )4x4 . Determine la matriz C = D + E 3. Encuentre los valores de p, q y r para que se cumpla la condici´n A = B, donde: o A= p − 3 2q − 5 3 r y B= 7 q−3 3 3r − 8

4. Considere las siguientes matrices A= 1 3 −1 2 B= 6 2 + 3i 5 3 C= 2i 1 + i −3 i

D=

2 −1 4 7 2 0

E=

F =

2 −6 vii) A3viii) F F T

Encuentre, si es posible, la matriz resultante de: i) AB ii) BC iii) B T CB iv) EF v) CD vi) C(AB) ix) DT (AC) x) (A + C)B xi) AB + CB xi) 3A − EF 5. Sean A = (aij )mxn , B = (bij )mxn y α ∈ R. Pruebe que: 1

ALGEBRA II: Gu´ de Matrices y Determinantes ıa

a) tr(αA) = αtr(A) b) tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B) c) tr(αA ± B) = αtr(A) ± tr(B) 6. (Desaf´ Encuentre dos matrices reales A yB de 2x2 ambas distintas de la matriz ıo) nula que cumplan con: A2 + B 2 = 0 7. Encuentre una expresi´n general para la matriz An sabiendo que: o A= r 1 0 r donde r ∈ R

8. Si A = (aij )pxp es sim´trica. Pruebe que A2 es tambi´n sim´trica e e e 9. Sea A = (aij )8x5 y B = (bjk )5x5 donde aij = i + j − 8 y bjk = j − k + 6. Considerando la matriz producto C = AB = (cik ). Encuentre:
5 5

i) a45ii)
j=1

a2j

iii) b31

iv)
j=2

bj4

v) c54

vi) tr(BB T )

10. Encuentre la matriz X que cumple con 2X + AT = A + B 2 , donde: A= 3 −5 1 2 B= 2 1 1 0

11. Compruebe que las identidades algebraicas (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 no se cumplen para las matrices A= 1 −1 0 2 B= 1 0 1 2 y (A + B)(A − B) = A2 − B 2

Modifica el segundo miembro de estas identidades para obtenerf´rmulas v´lidas para o a todas las matrices cuadradas A y B 12. Encuentra la matriz inversa de A, si existe,  1  1 A= 1 donde:  1 1 0 1  1 0

13. Encuentra la matriz resultante de: A2 − 3A − I, donde I es la matriz identidad y A= 2 3 1 1

ALGEBRA II: Gu´ de Matrices y Determinantes ıa

2

14. Resuelve la ecuaci´n matricial AXB = C, siendo: o A= 1 0 0 1 B= 1 1 1 2 C= 1 1 0 0

15. Resuelvela ecuaci´n matricial AX − B = X, siendo: o A= 1 2 3 −1 B= 7 −2 3 −1

16. Encuentra la traza de AB donde: B = Diag(1 3 5) y A = (aij ), con ai1 = 2i para i = 1, 2, 3 y aij = (−1)i+j i+j−1 para i = 1, 2, 3 y j = 2, 3

17. Encuentra el valor de p y s que cumplen con AT C = B T , donde: A= 1 3 4 5 B= 9 13 C= p s

18. Encuentra las matrices A y B que cumplen simult´neamente con: a 2A − B = −2 −57 −4 3A + 2B = 11 −4 7 8

19. Encuentra las matrices X e Y que cumplen simult´neamente con: a 5X + 3Y = 2 0 −4 15 3X + 2Y = 1 −1 −2 9

20. Una empresa elabora tes productos A, B y C, los cuales deben procesarse por tres m´quinas I, II y III. Una unidad de A requiere para su elaboraci´n de 3, 1 y 8 horas a o de la m´quina I, II y III respectivamente, mientras que una unidad de B requiere de a2, 5 y 3 horas de la m´quina I, II y III respectivamente y por ultimo una unidad de C a ´ requiere de 2, 4 y 2 horas de la m´quina I, II y III respectivamente. La disponibilidad a de horas de la m´quina I, II y III son respectivamente de 230, 290 y 460 horas. a a) Represente matricialmente el problema b) Encuentre, de existir, la soluci´n del problema o 21. Encuentre el rango de las siguientesmatrices: 1 3 0 0 2 4 4 8  1 3 5 C =  0 −10 −17  4 2 3 

A=

B=

D=

0 0

ALGEBRA II: Gu´ de Matrices y Determinantes ıa

3

4 5 7 3 6  9 4 9 −1 8   E=  5 −1 2 −4 2  1 −6 −5 −7 −4





   F =  

0 0 0 −1 −1

2 5 3 1 0 −3 1 4 8 20 18 0 8 20 15 2 0 0 3 −2

     

22. Encuentre el rango de la matriz A para diferentes valores de t ∈ R, donde:   1...
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