Medidas de dispercion

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MEDIDAS DE DISPERSION

Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones alcuadrado (Varianza).

 LA DESVIACIÓN TIPICA ESTÁNDAR (S ó δ)

Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor. Se calcula de formasencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega "sigma" ( δ ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas.
Cálculo de la Desviación Estándar
δ = √δ2 ó S = √S2
Ejemplo: Del calculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de primer año se obtuvo δ2=27.44, como ladesviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √27.44 = 5.29 años.
Igual procedimiento se aplica para encontrar le desviación estándar de las cuentas por cobrar de la Tienda Cabrera’s y Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 721.645, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√721.645 = 26.86 balboas.
* Propiedades de la Desviación Estándar:
A su vez ladesviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza)
* La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0 è X = xi (para todo i).
* Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.
* Ladesviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable
* Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.
* Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.
LA VARIANZA (S2 ó δ2)
Lavarianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a sumedio menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a sumedia aritmética"
Matemáticamente, se expresa como:

Ejemplo:
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 25, 27, y 34. Al calcular la media aritmética (promedio de las edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de las edades de estos estudiantes:
Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:
 Xi |  (...
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