Medidas de dispersi

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Medidas de dispersión.

Son las medidas que nos van a indicar que tan dispersos están los datos con respecto a la media aritmética.

Rango. En primer término tenemos el Rango de los datos que es la diferencia de los cómputos mayor y menor más uno.

Rango Semi Intercuartílico. Es el cálculo de la semi diferencia que existe entre el tercer cuartil y el primer cuartil.

Q =

Su valorpara el ejemplo que estamos utilizando es Q = = 10.9

Nos es útil su cálculo para poder analizar el número de aciertos que contestó el 50% central del grupo, si lo restamos y lo sumamos a la mediana para calcular el intervalo.

- Q = 50.5 – 10.9 = 39.6

+ Q = 50.5 + 10.9 = 61.4

Entonces, el 50% central del grupo de alumnos contestó entre 40 y 61 aciertos si aproximamos a enteros estosresultados.

Otra aplicación del Rango semi Intercuartílico es la fórmula empírica que nos indica que al multiplicar su valor por ( ) obtenemos en forma aproximada el valor de la desviación estándar. En este caso, pudiéramos decir que un valor aproximado de la desviación estándar es (10.9)( ) = 16.35 como comprobaremos más adelante
Rango Interpercentílico, Es la diferencia entre el percentil 90y el percentil 10.

P = P90 – P10 = 72.3 – 31.7 = 40.6

Si la mitad de este valor lo restamos y lo sumamos a la mediana tendremos el intervalo de lo que contestó el 80% central del grupo, descontando el 10% de los que menos contestaron y el 10% de los mejores del grupo.

- P = 50.5 – 20.3 = 30.2
+ P = 50.5 + 20.3 = 70.8

Este cálculo considera por medio de los datos agrupados que el80% central del grupo contestó entre 30 y 71 aciertos en el cuestionario aplicado, y si lo comparamos con el cuadro que hicimos para la mediana, veremos que resulta muy aproximado de acuerdo a los datos discretos pues en aquel resultaría de 31 a 72, del alumno 5 (10%) al alumno 43 (90%).

Desviación media absoluta, varianza y desviación estándar.

La media aritmética tiene la propiedad de quelas desviaciones de los datos con respecto a ella suman cero. Por ejemplo, consideremos en la siguiente tabla valores para x y observemos que sucede al restar la suma de las diferencias de cada dato con su media aritmética.



Para calcular un valor promedio, debemos pensar en el valor absoluto, o sea en la distancia que separa a cada dato de la media aritmética y la suma de estas distanciasdividirla entre el número de datos. A esta medida le llamamos desviación media absoluta (D. M. A.) o desviación promedio.



La fórmula en C2 es =B2-$B$8, para que a los valores de la columna B siempre se les reste el valor de la columna B8. Esta es la forma como Excel considera un valor absoluto.

Los datos tienen una desviación promedio con respecto a la media aritmética de 12.16 y estevalor lo podemos encontrar en Excel por medio de la fórmula =DESVPROM(B2:B6).

Por medio de la desviación media también podemos considerar un valor aproximado para la desviación estándar si lo multiplicamos por .
12.16 = 15.2 que comprobaremos a continuación.

Varianza. Otra forma de lograr que la suma de las desviaciones no sume cero, es la suma de las desviaciones al cuadrado a lo quellamamos Σx2 y que al dividirla entre el número de casos nos da por resultado el valor de la varianza simbolizada con σ2 en caso de que el cálculo sea en una población, o s2 si se trata de una muestra. La fórmula es:

σ2 = Σ(x - )2.
En la que Σx es la suma de los datos y es la media aritmética de estos datos.

Si se trata de datos agrupados en intervalos, debemos considerar lasfrecuencias, por lo que la fórmula es:

σ2 = ΣF(x - )2.

Pero la expresión Σ(x - )2 podemos desarrollarla, y deducir otra que esté en función únicamente de los valores de x en la forma siguiente:

Σ(x - )2 = Σ(x2 – 2x + 2) = Σx2 – 2Σx + Σ 2 = Σx2 – 2Σx + n 2
Pero = , con lo que al sustituir este valor resulta:
Σ(x - )2 = Σx2 – 2Σx( ) + n( )2

Σ(x - )2 = Σx2 – + n = Σx2 – +...
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