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Algoritmos matem´ticos y afinaci´n a o musical∗
April 8, 2002

Vicente Liern Carri´n1 o Departamento de Econom´ Financiera y Matem´tica, Universitat de ıa a Val`ncia, 46010-Val`ncia, Espa˜a. e e n

RESUMEN

La intenci´n del presente trabajo es dar una visi´n matem´tica de la o o a afinaci´n musical introducida por Pit´goras. Para ello se justifica brevemente o a c´mo surgi´ tal afinaci´n, y sehace una “traducci´n” matem´tica de las o o o o a ideas b´sicas que la definen. Adem´s, se muestra que afinar no es m´s que a a a fijar un algoritmo para elegir una cantidad finita de puntos en el intervalo [1,2[, y que esta elecci´n debe estar sujeta a ciertas propiedades num´ricas. o e Por ultimo, se da el algoritmo y algunos ejemplos que permiten hacer uso ´ pr´ctico de las ideas expuestas. a

´´ Publicado en EDUCACION MATEMATICA. Vol. 6, No. 2. Agosto 1994. Grupo Editorial Iberoam´rica. M´xico. e e 1 E–mail: Vicente.Liern @ uv.es



1

“La m´ sica se ocupa de los n´ meros sonoros” u u G. Zarlino, compositor y te´rico italiano (1517 – 1590) o

1

Introducci´n o

En ocasiones, cuando se rastrea el origen de cualquier disciplina cient´ ıfica, aparece un pasado turbio en elque las Antiguas Civilizaciones identificaban ciencia, arte, t´cnica o religi´n. Esto ha hecho que en muchos casos resulte e o dif´ conocer bien la cronolog´ de los hechos. Sin embargo, en materia ıcil ıa de M´sica, parece indudable que el arte se anticip´ a la ciencia, y mucho u o antes de que existiera construcci´n te´rica alguna, los m´sicos ya hab´ o o u ıan establecido una afinaci´n queidentificaban de o´ o ıdo. Por afinaci´n, o m´s precisamente por sistema de afinaci´n, enteno a o demos el conjunto de los sonidos que utiliza la M´sica; es decir, en el conjunto u de las frecuencias de todos los sonidos, IR+ , tenemos que elegir aquellos que “ sirven para hacer m´sica” y descartar el resto. Los sonidos admitidos por u el sistema de afinaci´n se denominar´n sonidos afinados o notas musicales. o aEn este trabajo veremos que el criterio de afinaci´n que estableci´ o o Pit´goras (que perdura hasta nuestros d´ a ıas), constituye un m´todo matee m´tico que permite elegir de entre todos los sonidos existentes una peque˜a a n cantidad (finita) a utilizar por la m´sica. Es decir, se trata de un algoritmo u de elecci´n de puntos en el intervalo [1, 2[. o Adem´s, mostraremos las propiedadesmatem´ticas que rigen este modo a a de afinar, haciendo al mismo tiempo un intento por recuperar esa zona com´n del saber que ocupa la m´sica y las matem´ticas. u u a

Notas hist´ricas o
Al menos desde la Antigua Mesopotamia (milenios IV y III a. de C.) el hombre se plantea con qu´ criterio la m´sica admite unos sonidos y rechaza e u otros. Las teor´ m´s arcaicas justificaron esta elecci´n conrazonamientos ıas a o meramente religiosos o est´ticos, consiguiendo con ello que durante muchos e siglos la afinaci´n fuese considerada una criba “ caprichosa”. o Ya en el primer milenio antes de Cristo, los caldeos relacionaron muy estrechamente la m´sica con la astrolog´ y las matem´ticas. As´ quienes u ıa a ı, estudiaban las estrellas explicaban el destino de los hombres y la armon´ ıa 2

del Universoentrelazando la especulaci´n matem´tica con los simbolismos. o a Esto dio lugar a que numerosos fen´menos c´smicos fuesen representados o o por la comparaci´n entre las longitudes de cuerdas tirantes. De este modo o aparecieron cuatro relaciones que, por su importancia, tomaron nombres propios. Estas son2 :
1 1

(un´ ısono),

2 1

(octava),

3 2

(quinta),

4 3

(cuarta).

Se sabeque para los caldeos, el estudio de las propiedades de los n´meros u result´ fundamental en la predicci´n de sucesos, y en este sentido destacaron o o fundamentalmente el 4 y el 7, siendo este ultimo, probablemente, el n´mero ´ u de notas de la antigua escala caldea. Aunque el conocimiento de tales materias nos ha llegado por varios autores cl´sicos (Fil´n y Plutarco entre otros), hay...
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