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Análisis de la varianza
En estadística, el análisis de la varianza o análisis de varianza (ANOVA, según terminología inglesa) es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza está particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas. Las técnicas iniciales del análisis de varianza fueron desarrolladas por el estadístico ygenetista R. A. Fisher en los años 1920 y 1930 y es algunas veces conocido como Anova de Fisher o análisis de varianza de Fisher, debido al uso de la distribución F de Fisher como parte del contraste de hipótesis.
Bases del análisis de la varianzaSupónganse k muestras aleatorias independientes, de tamaño n, extraídas de una única población normal. A partir de ellas existen dos manerasindependientes de estimar la varianza de la población s21) Una llamada varianza dentro de los grupos (ya que sólo contribuye a ella la varianza dentro de las muestras), o varianza de error, o cuadrados medios del error, y habitualmente representada por MSE (Mean Square Error) o MSW (Mean Square Within) que se calcula como la media de las k varianzas muestrales (cada varianza muestral es un estimadorcentrado de s2 y la media de k estimadores centrados es también un estimador centrado y más eficiente que todos ellos). MSE es un cociente: al numerador se le llama suma de cuadrados del error y se representa por SSE y al denominador grados de libertad por ser los términos independientes de la suma de cuadrados.2) Otra llamada varianza entre grupos (sólo contribuye a ella la varianza entre las distintasmuestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de los tratamientos y representada por MSA o MSB (Mean Square Between). Se calcula a partir de la varianza de las medias muestrales y es también un cociente; al numerador se le llama suma de cuadrados de los tratamientos (se le representa por SSA) y al denominador (k-1) grados de libertad.MSA y MSE, estiman la varianza poblacional en lahipótesis de que las k muestras provengan de la misma población. La distribución muestral del cociente de dos estimaciones independientes de la varianza de una población normal es una F con los grados de libertad correspondientes al numerador y denominador respectivamente, por lo tanto se puede contrastar dicha hipótesis usando esa distribución. Si en base a este contraste se rechaza la hipótesisde que MSE y MSA estimen la misma varianza, se puede rechazar la hipótesis de que las k medias provengan de una misma población. Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la misma varianza, este rechazo implica que las medias poblacionales son distintas, de modo que con un único contraste se contrasta la igualdad de k medias. Existe una tercera manera de estimar la varianza de lapoblación, aunque no es independiente de las anteriores. Si se consideran las kn observaciones como una única muestra, su varianza muestral también es un estimador centrado de s2:Se suele representar por MST, se le denomina varianza total o cuadrados medios totales, es también un cociente y al numerador se le llama suma de cuadrados total y se representa por SST, y el denominador (kn -1) grados delibertad.Los resultados de un anova se suelen representar en una tabla como la siguiente: Fuente de variación | G.L. | SS | MS | F |
Entre grupos
Tratamientos | k-1 | SSA | SSA /(k-1) | MSA /MSE |
Dentro
Error | (n-1)k | SSE | SSE /k(n-1) |   |
Total | kn-1 | SST |   |   |
F se usa para realizar el contraste de la hipótesis de medias iguales. La región crítica para dicho contraste esF > Fa(k-1,(n-1)k)Algunas propiedadesEs fácil ver en la tabla anterior que GLerror+ GLtrata = (n - 1) k + k - 1 = k + k - 1 = nk - 1 = GLtotalNo es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen la misma propiedad, llamada identidad o propiedad aditiva de la suma de cuadrados:SST = SSA + SSE El análisis de la varianza se puede realizar con tamaños muestrales iguales o distintos, sin...
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