Meto numericos

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Matem´ticas a Secci´n de Post-Grado o M´todos Num´ricos e e Pr´ctica No2 a M´todos Directos para Sistemas Lineales e 1. Usando losm´todos de eliminaci´n Gaussiana y descomposici´n LU, resuelva los siguientes e o o sistemas (a) 7x1 + 2x2 − 5x3 = −18 x1 + 5x2 − 3x3 = −40, 2x1 − x2 − 9x3 = −26 (b) Ax = b, donde Aij = 2. Muestre que lamatriz  2 2 1 A= 1 1 1  3 2 1.  es inversible y que A no puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior (A = LU ) sin pivoteamiento. 3.Elabore un algoritmo de inversi´n de una matriz A con base en la descomposici´n LU de o o A. ¿Cu´l es el esfuerzo computacional para la inversi´n de A? a o 4. Elabore el programa correspondiente alalgoritmo tridiagonal. Use su programa para resolver el sistema: −2(1 + h2 )x1 + x2 = 1 xi−1 − 2(1 + h2 )xi + xi+1 = 0, i = 2, ..., n − 1 xn−1 − 2(1 + h2 )xn = 1 tomando n = 30 y h = 0.1 5. Cuente el n´merode operaciones necesarias en la resoluci´n de un sistema lineal con n u o ecuaciones y n inc´gnitas usando el m´todo de descomposici´n LU. Con base en este o e o esfuerzo computacional, diga si estem´todo es competitivo comparado con la eliminaci´n e o Gaussiana. 6. Resuelva los sistemas sin pivoteamiento como tambi´n con pivoteamiento, usando cuatro e d´ ıgitos y aritm´tica con redondeo. ¿Cu´lt´cnica di´ mejores resultados? e a e o (a) 58.09x1 + 1.003x2 = 68.12 321.8x1 + 5.550x2 = 377.3 1 , i+j−1 1 bi = , i i, j = 1 : n.

1

(b) 321.8x1 + 5.550x2 = 377.3 100.3x1 + 5809x2 = 6812 7.Encuentre la factorizaci´n LDLT de las siguientes matrices: o  4 1 1 1  1 3 −1 1   A=  1 −1 2 0  , 1 1 0 2   4 1 −1 1  1 1 −1 0   B=  −1 −1 5 2  0 0 2 4. 

8. Complete el algoritmo deCholesky para resolver los sistemas con matrices A del ejercicio anterior, tomando     0.65 7  0.05   8  ,  b= b=  0.05   −4  0 6 respectivamente. 9. Es posible mostrar que una matriz...
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