Metodo de biseccion

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INTEGRALES POR SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2008
quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com

RESUMEN METODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA
Un buen numero de integrales que contienen polinomios de segundo grado, se pueden transformar a integrales directas o inmediatas si se utilizan sustituciones devariables que contienen funciones trigonometricas que transforman la expresión en una identidad trigonométrica

a2 + x2



x = a tg z → x2 = a2 tg2 z

a2 - x2



x = a sen z → x2 = a2 sen2 z

Reemplazando a2 + x2 = a2 + (a2 tg2 z ) a2 + x2 = {a2 + a2 tg2 z} a2 + x2 = { a2 (1 + tg2 z )} a2 + x2 = a2 (sec2 z ) x2 - a2 → x = a sec z → x2 = a2 sec2 z Reemplazando x2 - a2 = (a2 sec2 z ) – a2 x2- a2 = { a2 sec2 z - a2 } x2 - a2 = { a2 (sec2 z -1 )} x2 - a2 = a2 (tg2 z )

Reemplazando a2 - x2 = a2 - (a2 sen2 z ) a2 - x2 = {a2 - a2 sen2 z} a2 - x2 = { a2 (1 - sen2 z )} a2 - x2 = a2 (cos2 z )

1

TABLA DE INTEGRALES
∫ du = u + c ∫ a du = a u + c donde a es una constante u n +1 u n du = + c ⇒ n ≠ -1 ∫ n +1 du = Ln u + c ∫ u au a u du = + c donde a. > 0 y a ≠ 1 ∫ Ln a u u ∫ e du = e+ c ∫ sen u du = - cos u + c ∫ cos u du = sen u + c

2 ∫ sec u du = tg u + c 2 ∫ csc u du = - ctg u + c
∫ sec u tg u du = sec u + c ∫ csc u ctg u du = - csc u + c

∫ tg u du = Ln sec u ∫ ctg u du = Ln sen u

+c +c +c

∫ sec u du = Ln sec u + tg u

∫ csc u du = Ln csc u - ctg u

+ c = Ln tg

1 u +c 2

2

Las siguientes integrales se pueden usar para resolver en forma directa,además se pueden demostrar dx 1 ⎛x⎞ arc tg ⎜ ⎟ + c = ∫ 2 + x2 a ⎝a⎠ a
∫ dy 1 a+x = Ln +c 2 - x2 2 a a-x a

Ln +c ∫ 2 2= 2a x+a x -a
∫ ⎛x⎞ = arc sen ⎜ ⎟ + c ⎝a⎠ a2 - x2 dx
dx x2 - a2 dx = Ln x + x 2 - a 2 + c

dx

1

x-a





x x2 - a2

=

1 ⎛x⎞ arc sec ⎜ ⎟ + c donde a > 0 a ⎝a⎠
a2 + x2 + x + C1

2 2 ∫ a + x dx =

a2 x 2 Ln a + x2 + 2 2

2 2 ∫ x − a dx =

x a2 x2 - a2+ Ln 2 2

x2 - a2 + x

+ C1

2 2 ∫ a -x =
∫ dx x x2 + a2

a2 x x 2 a − x2 + c arc sen + 2 a 2
= 1 x2 + a2 - a Ln +c x a

x = a 2 ∫ sec 3 z dz - a 2 ∫ sec z dz = ∫ 2 x2 + a2
∫ dx x2 a2 - x2 = a2 - x2 +c a2 x

x 2 dx

2 2 + a 2 - a Ln x 2 + a 2 + x x 2

+ c1

a2 - x2 dx = ∫ 2 x

a2 - x2 x - arc sen +c x a

3



x 2 dx 2 ⎛ 2 ⎟ ⎜a − x ⎞ ⎠ ⎝ 32

=

x a2 - x2

- arcsen

x +c a

Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral
dx a2 + x2 = 1 ⎛x⎞ arc tg ⎜ ⎟ + c a ⎝a⎠



∫ ∫

dx 2 + x2 a dx a2 + x2 =∫ a sec 2 z dz a 2 sec 2 z
1 dz a

a2 + x2

⇒ x = a tg z



a sec 2 z dz a 2 sec 2 z

=∫

x = a tg z x2 = a2 tg2 z



1 1 1 dz = ∫ dz = (z ) + c a a a

si x = a tg z ⇒ dx = a sec 2 z dz

a + x2

a 2 + x 2= a 2 + a 2 tg 2 z

Reemplazando

x z
a

1 = (z ) + c ∫ a a2 + x2 dx

a 2 + x 2 = a 2 ⎛1 + tg 2 z ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a 2 + x 2 = a 2 ⎛ sec 2 z ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
si x = a tg z ⇒ tg z =
⎛x⎞ z = arc tg ⎜ ⎟ ⎝a⎠



dx 1 ⎛x⎞ = arc tg ⎜ ⎟ + c 2 + x2 a ⎝a⎠ a

x a

4

Encuentre una formula directa para la aplicación de la siguiente integral




dx = a2 - x2
dx a2 -x2 = ∫ a cos z dz a 2 cos 2z

a2 - x2 ⇒

x = a sen z

(x )2 = a 2 sen 2 z dz
Si x = a sen z → dx = a cos z dz
a 2 - (x )2 = a 2 - a 2 sen 2 z a 2 - x 2 = a 2 (1 - sen 2 z ) a 2 - x 2 = a 2 (cos 2 z )

Simplificando dx dz 1 1 1 dz = ∫ sec z dz = ∫ = ∫ ∫ a cos z a cos z a a2 - x2 Tabla de integrales

∫ sec z dz = ln sec z + tg z + c
Reemplazando

si x = a sen z ⇒ sen z =

x a

1 1 ∫ sec z dz = Ln sec z +tg z + c a a
1 1 ∫ sec z dz = Ln a a a a2 - x2 + x a2 - x2 +c

si cos z =
tg z =

a2 - x2 ⇒ sec z = a
x a2 - x2

a a2 - x2

1 1 ∫ sec z dz = Ln a a

a+x a2 - x2

+c

(a + x )2 (a + x )(a + x ) + c 1 1 1 Ln Ln +c= ∫ sec z dz = 2 2a a a (2) a2 − x2 ⎛ 2 ⎞ ⎜ a − x2 ⎟ ⎝ ⎠ Cancelando términos semejantes

a z
a2 - x2

x

(a + x )(a + x ) + c = 1 Ln a + x + c 1 Ln (a − x )(a + x )...
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