Metodo de Frobenius

El M´todo de Frobenius
e
Consideremos la EDL de segundo orden
d2 x
dx
+ a1 (t)
+ ao (t) x = 0
2
dt
dt
es un punto ordinario si a2 (to ) = 0 , en tal caso, las funciones
a2 (t)

Un punto to

p (t) =

a1 (t)
a2 (t)

y q (t) =

(6.1)

ao (t)
a2 (t)

son anal´
ıticas en t = to . Es decir, p (t) y q (t) tienen desarrollo en Serie de Taylor en
torno a to , con radios deconvergencia R1 y R2 no nulos, respectivamente.
Entonces la EDL
dx
d2 x
+ q (t) x = 0
(6.2)
+ p (t)
dt2
dt
tiene la misma soluci´n de 6.1. y esta soluci´n x = x (t) es una funci´n anal´
o
o
o
ıtica en t = to
y, por lo tanto, existe una Serie de Taylor tal que
∞

cn (t − to )n

x (t) =
n=0

Como se vi´, la obtenci´n de esta soluci´n equivale a obtener la sucesi´n de los cn . Lao
o
o
o
ecuaci´n de diferencias que define a la sucesi´n de los cn , se obtiene por la sustituci´n de
o
o
o
esta Serie y de sus derivadas en la ecuaci´n diferencial.
o
o
Por otro lado, to es un punto singular de 6.1 si a2 (to ) = 0 y en este caso, la soluci´n
x = x (t) no es anal´
ıtica en t = to y no puede ser expresada en una Serie de Taylor.

Soluciones en torno a un PuntoSingular
Supongamos to es un punto singular. Sean p (t) y q (t) las funciones en la EDL
normalizada.
Si las funciones
(t − to )p(t) y (t − to )2 q(t)
son ambas anal´
ıticas en to , entones to es llamado un punto singular regular de la EDL.
Si alguna de estas funciones no son anal´
ıticas en to , entonces to es llamado un punto
singular irregular de la EDL.
o
Sea to un punto singular regular.Entonces existe al menos una soluci´n no trivial de
la forma,
∞

(t − to )r

cn (t − to )n
n=0

donde r es una constante. Si las funciones (t − to )p(t) y (t − to )2 q(t) converge en un
interval I conteniendo a to , entonces la serie converge en I, excepto posiblemente to .

1

El M´todo de Frobenius
e
Para describir mejor este m´todo, restring´monos al caso cuando to = 0 en elpunto
e
a
singular regular de la EDL
d2 x
dx
+ q (t) x = 0
+ p (t)
2
dt
dt
multiplicando esta por t2 se tiene la ecuaci´n equivalente
o
t2

d2 x
dx
+ t2 q (t) x = 0
+ t (tp (t))
2
dt
dt

ıticas en to = 0 . Esto es,
donde tp (t) y t2 q (t) son anal´
∞

pn tn

2

tp (t) = po + p1 t + p2 t + . . . =
n=0

y

∞

qn tn

t2 q (t) = qo + q1 t + q2 t2 + . . . =
n=0son series convergentes para |t| < R .
Se buscan soluciones de la forma
∞

∞

r

n

cn tn+r

cnt =

x (t) = t

n=0

n=0

con co = 0 , definidas para 0 < t < R .
Como
∞

dx
=
dt

(n + r)cn tn+r−1

y,

n=0
∞

d2 x
=
dt2

(n + r)(n + r − 1)cn tn+r−2 .
n=0

al sustituir estas tres series en la ecuaci´n diferencial obtenemos
o
∞
r

∞
n

∞

r

n(n+r)(n+r−1)cn t +t

t

n=0

(n + r)cn t

pn t
n=0

∞
n

r

+t

n=0

∞

qn t

n

n=0

cn tn

=0

n=0

que simplificando, se obtiene la forma,
n−1

∞
r

λ (r) co t +

λ (n + r) cn +
n=1

[(k + r) pn−k + qn−k ] ck

tn+r = 0

k=0

donde
λ (n + r) = (n + r)(n + r − 1) + po (n + r) + qo
para n = 0, 1, 2, . . .
Haciendo el coeficiente de cada potencia det igual a cero, se tiene que,
λ (r) = r(r − 1) + po r + qo = 0
y
n−1

λ (n + r) cn +

[(k + r) pn−k + qn−k ] ck = 0 , n = 1, 2, . . .
k=0

2

(∆)

El polinomio cuadr´tico en r ,
a
λ (r) = r(r − 1) + po r + qo
es llamado el polinomio indicial asociado a la ecuaci´n.
o
λ (r) = r(r − 1) + po r + qo = 0
´
es la ecuaci´n indicial, cuyas ra´
o
ıces r1 y r2 son los unicos valoresadmisibles para r .
Los coeficientes cn , se determinan de la relaci´n
o
n−1

[(k + r) pn−k + qn−k ] ck
cn = −

k=0

,

λ (n + r)

n = 1, 2, 3, . . .

si λ (n + r) = 0 .
Entonces bajo la condici´n de que λ (n + r) = 0 , para todo n ≥ 1 , todos los cn
o
pueden calcularse recursivamente de modo que si la Serie
∞
r

r

cn tn

co t + t

n=0

es convergente para 0 < t <...