Metodo de integracion aproximada

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 19 (4546 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 12 de octubre de 2010
Leer documento completo
Vista previa del texto
Universidad de Cantabria

Fundamentos de Teoría del Buque

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN APROXIMADA El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios, en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer grado). Es evidente que seconseguirá mayor precisión en la medida en que tengamos un número mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función mejora, tal y como podemos ver en las figuras siguientes.

El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entreordenadas consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa

El trapecio entre y0 e y1 tendrá el área: y +y Área0 = alfa × 0 1 2 y el siguiente trapecio: y + y2 Área1 = alfa × 1 2 y así sucesivamente, con lo que sacando factor común y arreglando los coeficientes nos queda: y  y ÁreaT = alfa ×  0 + y1 + y 2 + y 3 + 4  2   2

Otro método es el de Simpson. Aquí en vez de cuerdas, sustituimosla función por un polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación, podamos calcular el área. Veamos la primera regla de Simpson

1

Universidad deCantabria

Fundamentos de Teoría del Buque

La función es y = ax 2 + bx + c integramos para determinar el área:
Área = ∫


pero también podemos poner:
2 y 0 = ax 0 + bx 0 + c que al ser x 0 = 0 y0 = c

Área = ∫ y dx Área =

0 2α

f ( x)dx

∫ (ax
0
3

0 2α

2

+ bx + c )dx
2 2α

y1 = ax12 + bx1 + c que al ser x1 = α y1 = aα 2 + bα + c 2 y 2 = ax 2 + bx 2 + c que al ser x 2= 2α
y 2 = a(2α ) + b2α + c y 2 = 4aα 2 + 2bα + c
2

a(2α ) b(2α ) + + c 2α 3 2 8aα 3 4bα 2 Área = + + 2cα 3 2 sacamos factor común α / 3
3 2

 ax  bx Área =  + + cx  2  3 0

Área =

si tomamos (1y 0 + 4 y1 + 1y 2 ) tenemos:

c + 4aα 2 + 4bα + 4c + 4aα 2 + 2bα + c
que equivale a:

Área =

α

(8aα 3

2

+ 6bα + 6c

)

8aα 2 + 6bα + 6c
Vemos que se puede sustituir:( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3 Ahora pongamos ordenadas de un área anexa
Área =

α

Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos: ÁreaTOTAL =

α
3

( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + α ( y 2 + 4 y 3 + y 4 )
α
3 3

ÁreaTOTAL =

( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + y 4 )
2

(F-I)

Universidad de Cantabria

Fundamentos de Teoría del Buque

De aquí podemos sacar lasecuencia de coeficientes para las distintas ordenadas. La única limitación es, la de que el número de ordenadas debe ser impar (atención al subíndice 0) y por lo tanto el número de intervalos deberá ser par. Los coeficientes serán: 141 14241 1424241 142424241 14242424241 Y así sucesivamente. En el caso de tener un número de intervalos múltiplo de 3, se podrá aplicar la segunda regla de Simpson,en la que se sustituye la curva por una parábola cúbica, tal y como vemos en el siguiente gráfico preparado para el caso inicial de cuatro ordenadas y tres intervalos iguales, necesarios para la función de tercer grado:

Procediendo de una manera similar a la anterior y = ax 3 + bx 2 + cx + d
A = ∫ y dx
0 3α


3 2 y0 = ax0 + bx0 + cx0 + d y0 = d

al ser x0 = 0

 ax  bx cx A= + + +dx  3 2  4 0
4 3 2

a(3α ) b(3α ) c(3α ) A= + + + d 3α 4 3 2 81aα 4 27bα 3 9cα 2 A= + + + 3dα 4 3 2 3α A= 54aα 3 + 24bα 2 + 12cα + 8d 8
4 3 2

y1 = ax13 + bx12 + cx1 + d y1 = aα 3 + bα 2 + cα + d 3 2 y2 = ax2 + bx2 + cx2 + d
3 2

y2 = a(2α ) + b(2α ) + c(2α ) + d y 2 = 8aα 3 + 4bα 2 + 2cα + d 3 2 y3 = ax3 + bx3 + cx3 + d
3 2

(

)

y3 = a(3α ) + b(3α ) + c(3α ) + d

y3 = 27...
tracking img