Metodo de la biseccion

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Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores que se hallan entre y . Esto es, que todo valor entre y es la imagen de al menos un valor enel intervalo . En caso de que y tengan signos opuestos ( ), el valor cero sería un valor intermedio entre y , por lo que con certeza existe un en que cumple . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación . El método consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la función en el intervalo . Luego verificamos que . Calculamos elpunto medio del intervalo . A continuación calculamos . En caso de que sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si tiene signo opuesto con o con . Se redefine el intervalo como o según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalocada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito. En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz se halla a una distancia menor o igual que , pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos de tamaño , contiguos al punto medio del intervalo . En la segunda iteración, elnuevo intervalo mide y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio y es menor o igual que . Se forman así tres sucesiones de valores , y , y puede mostrarse fácilmente por inducción que en la n-ésima iteración, al aproximar con se tiene que
De esta forma, si queremos estimar el número de iteraciones necesarias para que, al aproximar la solución de la ecuación mediante el punto medio, el errorde aproximación sea menor que un parámetro , de la desigualdad anterior se concluye que deben hacerse al menos . 1  iteraciones.  Por ejemplo, al aplicar el algoritmo de bisección a una función en el intervalo , si queremos que el error de aproximación sea menor o igual que , el número de iteraciones debe cumplir   por lo que deben realizarse al menos 16 iteraciones. Algoritmo Bisección: Entrada:Una función continua definida en un intervalo , con y de signos opuestos. Parámetros:     = Máximo número de iteraciones. = Nivel de precisión respecto a la solución exacta. .Inicio .Defina .Mientras : .Defina . .Si , .Salida: m. .Parar .Si redefina . De otra forma, redefina . .Incremente . .Salida: "El método fracasó después de iteraciones". .Parar.   |
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MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Comomencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza aleje  esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función    que es contínua en el intervalo    y  además,   y   tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuaciónde la línea recta que une los puntos  ,  . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
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Por lo tanto la ecuación de la recta es:
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Para obtener el cruce con el eje , hacemos  :
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Multiplicando por   nos da:
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Finalmente, de aquí despejamos :
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Este punto es el que toma el papel de    en lugar del punto medio del método de bisección.
Así pues, el...