Metodo de potencias

4

Api = λipi,

∀i = 1, . . . , n,

donde pi = (pi1, pi2, . . . , pin).
El m´todo de la potencia iterada permite calcular el au-
e
tovalor dominante λ1 y se basa en la construcci´n de una
osucesi´n {uk }, con uk = (uk , uk , . . . , uk ), en la forma:
o
1
2
n

u0 ∈ C n arbitrario,

uk+1 = Auk ,

k = 0, 1, . . .

122

Vamos a estudiar varios de los casos posibles:

A)|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|.
Se tiene el siguiente resultado:

Teorema 2 .- Si elegimos u0 adecuadamente (en
concreto, si:

(Por tanto, λ1 ∈ R.)

u0 = α1p1 + α2p2 + . . . + αnpn

basta tomar α1= 0) entonces existe, al menos, un
´
ındice i ∈ {1, . . . , n} tal que:

uk+1
lim i k = λ1.
k→∞ ui

B) |λ1| = |λ2| = . . . = |λr | > |λr+1| ≥ . . . ≥ |λn|,
λ1 = λ2 = . . . = λr ∈ R.
Setiene el siguiente resultado:

Teorema 3 .- Si elegimos u0 adecuadamente (en
concreto, si:

u0 = α1p1 + α2p2 + . . . + αnpn

basta tomar α1p1 + . . . + αr pr = 0) entonces existe, al
menos, un ´ındice i ∈ {1, . . . , n} tal que:

uk+1
lim i k = λ1.
k→∞ ui

123

C) |λ1| = |λ2| > |λ3| ≥ . . . ≥ |λn|, λ1 = −λ2 ∈ R.
Se tiene el siguiente resultado:

Teorema 4 .- Si elegimos u0adecuadamente (en
concreto, si:

u0 = α1p1 + α2p2 + . . . + αnpn

basta tomar α1p1 + α2p2 = 0) entonces existe, al
menos, un ´
ındice i ∈ {1, . . . , n} tal que:

u2k+2
lim i 2k = λ2 = µ.
1
k→∞ ui√
√
(Por tanto, λ1 = µ, λ2 = − µ.)

Observaci´n 3 .- Tambi´n, si se elige u0 tal que
o
e
α1p1 − α2p2 = 0, entonces existe, al menos, un ´
ındice
i ∈ {1, . . . , n} tal que:

u2k+3
2
limi
2k+1 = λ1 .
k→∞ ui

¯
D) |λ1| = |λ2| > |λ3| ≥ . . . ≥ |λn|, λ1 = λ2 ∈ C.
Se puede adaptar el m´todo para calcular r y θ tales
e
que:
λ1 = reiθ
(⇒ λ2 = re−iθ )

124

Observaci´n 4 .-(Potencia normalizada)
o
Incluso en el caso m´s sencillo |λ1| > |λj |, j = 1,
a
si λ1 es muy grande en m´dulo (o muy peque˜o), al
o
n
calcular uk para k grande, este tiende en norma a ∞
(´...