Metodo de residuos ponderados

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MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS
El método de residuos ponderados consiste en ponderar el residuo de la ecuación diferencial usando funciones de ponderación.
El residuo de la ecuación diferencial es

Definiendo N funciones de ponderación Wj (x) linealmente independientes se impone para cada función de peso







El método de residuos ponderados (Petrov-Galerkin)
Cuando sesustituye la solución (3) en la ecuación (1), resulta un residuo el cual es función de x, no obstante, debido a que los parámetros no son conocidos, a priori, se escribirá

En el método de residuos ponderados, los parámetros se determinan integrando el residuo multiplicado por ciertas funciones conocidas como funciones de peso.

Realizando las integrales anteriores, se obtiene un sistema den ecuaciones con n incógnitas.
Resolviendo tal sistema, se obtienen los parámetros cj que se sustituirán en la solución aproximada.
El método de Galerkin
Para el caso en que las funciones de peso Wi (X) son las mismas que las de la solución aproximada (las φj ), el enfoque se conoce como el método de Galerkin. Bajo ciertas circunstancias los métodos de Galerkin y Rayleigh-Ritz sonequivalentes.










Para un conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a las barras, utilizamos el sistema de coordenadas locales.
Para otro conjunto de vectores y matrices, generalmente ligados a la estructura en su conjunto, utilizamos el sistema de coordenadas globales.
El propio procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo delas matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales.
Es decir: cuando en el procedimiento de cálculo matricial planteamos las relaciones existentes entre las diferentes barras de la estructura, es necesario utilizar un único sistema de coordenadas, que denominamos de coordenadas globales.Por lo anterior se hace necesario el poder expresar las matrices de rigidez de las barras tanto referidas a las coordenadas locales, propias de la barra, como referida a las coordenadas globales, propias de la estructura.
La matriz de transformación, que vamos a denominar simbólicamente como { T } , nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadaslocales y globales.

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA ESTRUCTURAS PLANAS
Denominamos matriz de transformación { T }, en una barra, a aquella matriz que nos permite relacionar el vector carga aplicado a dicha barra, en coordenadas globales { PG }, con el vector carga en coordenadas locales { PL} que actúa en la misma barra.
En base a lo anterior la matriz de transformación { T } será aquellaque se deriva de la siguiente ecuación matricial :
{ PG } = { T } . { PL }


En la figura anterior hemos representado una barra perteneciente a una estructura plana de nudos articulados con un sistema de coordenadas locales (azul) y un sistema de coordenadas globales (rojo).
Hemos dibujado el vector carga en globales en el extremo 1 (PXG, PYG) y el vector carga en locales en el extremo 2(PXL, PYL) , aunque lógicamente tanto el sistema de ejes local como el sistema de ejes global, es igual en los dos extremos.
Planteamos la ecuación de relación entre cargas, en coordenadas globales y coordenadas locales, utilizando la matriz { T }:
{ PG } = { T } { PL }
y tendremos que para el caso de una barra perteneciente a una estructura de plana de nudos articulados que la ecuación matricialanterior queda así:


De forma que la matriz { T } será:

En la figura siguiente hemos representado una barra perteneciente a una estructura plana de nudos rígidos con un sistema de coordenadas locales (azul) y un sistema de coordenadas globales (rojo).

Hemos dibujado el vector carga en globales en el extremo 1 (PXG, PYG, MG) y el vector carga en locales en el extremo 2 (PXl, PYl,...
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