Metodo de solucion de series de potencia

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1.

Método de Solución con Series de Potencias

Ahora toca el turno de dar solución a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. El método más común para resolver este tipo de ecuaciones está basado en el uso de series de potencias, por lo que comenzaremos dando un breve repaso de algúnos conceptos importanes que serán necesarios para el método. Con mucha frecuencia estetipo de ecuaciones aparecen en la física matemática en problemas de transferecia de calor, ecuaciones de onda, problemas de acústica y electromagnetismo, entre otras areas. La ecuación de Bessel ¢ ¡ x2 y00 + xy 0 + x2 − n2 y = 0 ¡ ¢ 1 − x2 y00 − 2xy 0 + n (n + 1) y = 0

y la ecuación de Legendre

son un ejemplo de este tipo de ecuaciones.

1.1.

Repaso a las series de potencias

Unaserie de potencias en x − a, es una serie infinita que tiene la forma
∞ X

n=0

cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · ·
∞ X

si a = 0 entonces se tendrá

n=0

cn (x − a)n = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · ·

que no es más que un polinomio de grado infinito. Una serie de potencias se dice convergente en el intervalo I si
∞ X

cn xn = l´ ım

n=0

N→∞

n=0N X

cn xn

existe y es finito para algún valor x ∈ I. Si converge para cualquier valor x ∈ I entonces la suma f (x) =
∞ X

cn xn

n=0

será la representación de la función f (x) en el intervalo I. El conjutno de valores para los cuales la serie converge es conocido como intervalo de convergencia. Si la serie no converge para algún valor x ∈ I se dice entonces que es divergene. Elradio de convergencia de una serie se refiere a la extención del interalo de convergencia medido a partir de su centro, este puede ser de tres tipos: Si la serie converge solo en su centro a, entonces el radio de convergencia será R = 0. Si la serie converge para toda x tal que |x − a| < R, entonces el radio de convergencia será R > 0. La serie diverge para |x − a| > R. Si la serie converge para todox ∈ R, entonces R = ∞.

1

Algunas series importantes son ex =
∞ X xn

sin (x) = cos (x) = ln (1 + x) = 1 1−x =

n=0 ∞ X

n!

=1+x+

x2 x3 + +··· 2! 3!

x3 x5 (−1)n x2n+1 =x− + +··· (2n + 1)! 3! 5! n=0
∞ X (−1)n x2n

n=0 ∞ X ∞ X

(2n)!

=1−

x2 x4 + +··· 2! 4!

x2 x3 x4 (−1)n+1 xn =x− + − +··· n 2 3 4 n=0 xn = 1 + x + x2 + · · ·

n=0

Note que las tres primeraseries son siempre convergentes, es decir que para cualquier valor x ∈ R, la serie converge, mientras que las últimas dos son convergentes solo para |x| < 1 (x ∈ (−1, 1)). Una forma común de obtener representaciones de funciones a través de series de potencias es utilizando el Teorema de Taylor : la serie de Taylor de una función f infinitamente diferenciable, con centro en x = a está dada por f (x) =∞ X f (n) (a)

n=0

n!

(x − a)n = f (a) + f 0 (a) (x − a) +

f 00 (a) (x − a)2 + · · · 2!

En especial si x = 0, entonces la serie se verá como f (x) = conocida como la serie de Maclaurin. Decimos que una función f es analítica en x = a si se puede representrar mediane una serie de potencias en x − a con un radio de convergencia positivo. Operaciones aritméticas con series de potenciasDadas dos funciones f y g, y su representación en series de potencias f (x) = g (x) = entonces Suma: f (x) + g (x) = Producto: f (x) g (x) =
∞ X ∞ X ∞ X ∞ X f (n) (0)

n=0

n!

xn = f (0) + f 0 (0) x +

f 00 (a) 2 x +··· 2!

an xn bn xn

n=0 ∞ X n=0

(an + bn ) xn

n=0

cn xn

n=0

= a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 ) x + · · · donde cn = an b0 + an−1 b1 + · · · + a0 bn 2

Si f yg son convergentes, f + g y fg también lo son y convergen a f (x) + g (x) y a f (x) g (x). Derivación de series Derivar una serie de potencias resulta realmente sencillo. Si partimos de la idea de que tenemos un polinomio, entonces Ã∞ ! ¢ d X d ¡ n a0 + a1 x + a2 x2 + · · · an x = dx n=0 dx = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + · · · ∞ X nan xn−1 =
n=1

d2 dx2

Ã

n=0

∞ X

an x

n

!...
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