Operador Diferencial
Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador diferencial convierte una función en una función diferente llamada la funciónderivada. Podemos definir el operador diferencial D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es:
D0fx=fx, D1fx=f'x, D2fx=f''x, … , Dnfx=f(n)(x), dondeDn=dndxn

Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales:
PDn=a0+a1D+a2D2+…+anDn, an≠0, donde a0,a1,…,an son constantes.
A este nuevo objeto lo podemos llamarel Operador Polinomial de orden n.
La utilidad de este objeto matemático quedara clara si hacemos la siguiente definición:
PDny=anDn+an-1Dn-1+…+a2D2+a1D+a0y
PDny=anDny+an-1Dn-1y+…+a2D2y+a1Dy+a0yPDny=any(n)+an-1y(n-1)+…+a2y''+a1y'+a0y

Operador Anulador
El llamado Operador Anulador es aquel Operador diferencial que anula a la función a la que es aplicado, es decir, la lleva a 0.
Porejemplo,
Sea fx=x3+5x2-2x+1, Su operador anulador seria D4, pues:
Dfx=f'x=3x2+10x-2
D2fx=f''x=6x+10
D3fx=f'''x=6
D4fx=f'vx=0

De esta manera podemos construir la siguiente tabla:
Tipo de Función| Operador Anulador |
1, x, x2,x3,… ,xn-1 | Dn |
eax,xeax,x2eax,… ,xn-1eax | D-an |
eaxcos(bx),xeaxcos(bx),… ,xn-1eaxcos(bx)eaxsin(bx),xeaxsin(bx),… ,xn-1eaxsin(bx) | D2-2aD+a2+b2n |

Métododel Operador Anulador
El método del operador Anulador se aplica a Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas. Se procede de la siguiente manera:
Sea y''+3y'+2y=x2 una E.D.L.N.H.de segundo ordende la forma:
y''+ay'+by=r(x), Se sabe que la solucion de una ecuacion
diferencial lineal no homogenea es de la forma:
y=yc+yp
Se procede a obtener yc resolviendo la forma homogenea de la E.D.:y''+3y'+2y=0
Resolviendo la Ecuacion auxiliar:
λ2+3λ+2=0 → λ+2λ+1=0 → λ1=-2, λ2=-1
∴ yc=C1e-2x+C2e-x
Despues se Operan ambos lados de la E.D.con un operador que anule... [continua]

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